Questions à mettre sur papiers

[invitead0798ec]

Bonjour,

Je viens vers vous car j'ai besoin d'aide sur quelques questions.

Tout d'abord, j'aimerai bien comprendre la manière dont les formats de papiers sont construits.
Rien de très compliqué il me semble
Je me pose des questions sur les formats de papiers, A0, A1, A2 ... et leur propriétés ; un A0 divisé en deux parties égales donne deux A1, un A1 divisé en deux parties égales donne deux A2 etc.

Comme Wikipédia le dit "Le rapport entre longueur et largeur doit (...) être égal à la racine carrée de deux, (...) soit environ 1,414"
https://fr.wikipedia.org/wiki/Format...ts_A.2C_B_et_C

à la fin de cette phrase, en note, il est dit : "En effet, en notant K la longueur et k la largeur, on doit avoir K/k = k/(K/2), donc (K/k)² = 2, soit K/k = ."
https://fr.wikipedia.org/wiki/Format...er#cite_note-3
C'est là où je bloque. Je comprends la manière dont est résolu cette équation. Mais je ne comprends pas pourquoi est ce qu'on part de ça : K/k = k/(K/2) ; ni ce que cela veut dire ...
Est ce qu'on peut m'expliquer ?

Voici l'équivalent en trois dimension.
J'aimerai savoir si il existe un parallélépipède, ayant des proportions spécifiques, pourrait avoir des propriétés similaires aux parallélogrammes dont le rapport de la longueurs et de la largeur vaut (comme ceux évoqués précédemment). C'est à dire un parallélépipède qui, dès qu'on le divise en deux parties égales, donne deux parallélépipède de même proportion.

J'ai touvé un livre qui en parle :
AN ADVENTURE IN MULTIDIMENSIONNAL SPACE, The Art and Geometry of Polygons, Polyhedra, and Polytopes, de Koji Miyazaki, (éd anglaise) John Wiley & Sons, 1986.

il est dit p. 103 §2 "(...)the ratio of [the pages of a four-dimensional book] whose edge lengths is .
No matter how repeatedly one of them is devided into halves, the edges of the newborn cuboids have a similar ratio.
Such a property corresponds to that of the -rectangle, the ratio of whose edges lengths is ."

J'aimerai bien savoir si ses valeurs sont juste, et savoir comment le vérifier ?

Comment l'auteur a-t-il fait pour trouver de telles valeurs ? Quels calcules faut-il faire ?

Pour finir, la cerise sur le gâteau.
Est ce que cette idée de parallélogramme, de parallélépipède, qui une fois divisé en deux parties égales garde ses proportions,
est généralisable à des "hypers-volumes" de dimension 4, 5 , 6 ... n ?
Et est-ce possible de calculer les proportions des côtés de tels "hypers-volumes" ?
C'est plus vite dit que fais !

Des idées ?
-----

[Médiat]

Bonjour,

Allons-y lentement :

Soit un rectangle de taille A0 dont les côtés sont notés K et k avec K > k.

1) Comme la surface du A0 est 1m² par définition, on a K.k = 1, et le rapport du grand côté par le petit est K/k
2) Si on coupe le plus grand côté en 2, on obtient un rectangle de même proportion : le nouveau rectangle a pour côté K/2 et k, le plus grand côté est k (sinon la condition ne peut être respectée), le rapport du grand côté par le petit est donc : k/(K/2)


L'égalité des 2 rapports donne K/k = k/(K/2) ou K² = 2 k², ce qui donne bien K = 1.414...k, sachant K.k = 1 on peut calculer K et k (et donc toute les tailles normalisées à partir de A0

[Médiat]

En dimension 3 l'idée est la même, on part de 3 longueurs : a, b, c (avec a > b > c), et on doit avoir :
a/b = b / c, et si on coupe le plus grand en deux, les ratios sont conservés : b/c = c/(a/2).

Dans votre texte, c est fixé à 1, il est facile de calculer a et b, et je vous confirme les résultats annoncés.

En dimension supérieur la technique est la même avec 4, 5, ... n côtés

[invitead0798ec]

Merci pour ses précisions concernant le format A.

Quelques interrogations subsistes concernant les dimensions 3 et 4.

J'ai réussi à retrouver les résultats à partir des formules que vous avez donné.
Mais à partir de ce résultat, comment peut-on vérifier qu'un volume ayant ces proportions a bien les propriétés définis au départ, à savoir que ces proportions sont conservés lorsqu'on le divise en deux parties égales ?

Pour un objet de dimension 4, j'ai tenté d'appliquer un raisonnement similaire au votre, mais je ne suis pas arrivé à trouver quelque chose qui tienne debout ^_^ !
Pouriez-vous m'aider à trouver ?

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]