"nombres 'englobants' ou 'ovoïdes' ; 'combinatoire et dénombrement de cercles imbriqués' "

[ulyss]

Bonjour,

Je compte vous présenter ici une idée qui me trotte dans la tête depuis un certain temps.
Voilà , on connaît la suite des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; etc...
Cette suite peut être représentée par la juxtaposition de formes circulaires ou ovoïdes: cf figure ci-jointe

Elle peut aussi être représentée en englobant successivement les "cercles": cf figure

L'idée m'est venu que l'on pouvait combiner cette façon de juxtaposer et d'englober les ovoïdes successifs. On obtient alors une nouvelle série de figures, auxquelles on peut faire correspondre des sortes de nouveaux nombres que l'on appellera les nombres "englobants". La règle pour construire ces formes ou "nombres englobant" est qu'aucun ovoïde ne doit en couper un autre.

Ainsi avec 1 ovoïde : cf figure

Puis avec 2 ovoïdes on obtient 2 "nombres englobants" d'ordre 2: cf figure

Puis avec 3 on obtient 4 nombres "englobants" d'ordre 3: cf figure


Puis avec 4 ovoïdes on obtient un certain "nombres englobants" d'ordre 4: cf figure

L'ordre de juxtaposition des formes ovoïdales n'a aucune importance, ainsi on peut écrire l'égalité : cf figure

Chaque nombre englobant est caractérisé par plusieurs choses : le nombre de "petits cercles" ne contenant aucun autre cercle, le nombre total d'ovoïdes, et le nombre d'ovoïdes disjoints (ovoïdes qui ne sont inclus dans aucun autre).
Ainsi le nombre englobant alpha (cf figure) est caractérisé par 3 "petits cercles", 5 ovoïdes en tout et 2 ovoïdes disjoints.
La donnée de ces trois nombres caractéristiques ne permet néanmoins pas de définir complètement un "nombre englobant" quelconque.

Remarque : au lieu de prendre des "ovoïdes" on aurait aussi bien pu prendre des lignes fermées dans le plan (à la condition que chaque ligne fermée ne se coupe pas elle-même, et que 2 lignes fermées différentes ne se coupent pas entre elles...) ou des "boules" ou ellipsoïdes ou surfaces fermées non auto-sectionnantes dans un espace à 3 dimensions, ou autres formes dans des dimensions supérieures...

A partir de cette définition on peut définir une loi de composition "additive" en juxtaposant les "nombres englobants" : cf figure

On peut aussi définir une loi "multiplicative" en remplaçant chaque petit cercle du terme de gauche par l'intégralité du nombre englobant de droite comme ici : cf figure


Cette multiplication n'est a priori pas commutative.

Bon bref.
Ensuite on peut probablement définir l'équivalent de l'ensemble des entiers relatifs et de celui des rationnels en quotientant des ensembles produits bien choisis par des relations d'équivalence appropriées...

Que pensez vous de ces idées?
De tels "nombres englobants" existent-ils déjà ?
J'imagine qu'ils doivent correspondre à des notions de topologie basique...
Quelles applications pourraient-ils avoir?

Question : combien existe-il de "nombres englobant" d'ordre n (avec n formes ovoïdes)?
J'avais pensé au nombre de Catalan d'ordre n mais cela ne convient pas...
D'avance merci pour vos réponses et remarques...

Yann Le Brech, né à Lyon

[ulyss]

Remarque : je n'ai pas dans mon précédent message dessiné tous les "nombres englobants" d'ordre 4...

[Seirios]

Bonjour,

Ce n'est pas tellement une question de topologie, mais plutôt de combinatoire. On peut remarquer que formellement cela revient à considérer des arbres enracinés, dont les sommets sont les ovoïdes et dont les arêtes relient deux ovoïdes dont l'un est inclus dans l'autre sans qu'un troisième ovoïde soit entre les deux (si l'on souhaite que le graphe soit connexe, on peut ajouter une racine commune).

Quelle structure souhaites-tu obtenir en définissant tes opérations ?

[Médiat]

Bonjour,

Je pense avoir trouvé une réponse à la question "combien existe-il de "nombres englobants" d'ordre n (avec n formes ovoïdes)?", mais je suis loin d'être sûr de moi ; si quelqu'un (s) voulait bien faire les listes pour n=4 et même n=5, cela me permettrait, empiriquement, de tester ma formule, et je la posterais, si elle est "validé" par l'expérience.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

On rencontre cette question en combinatoire sous une forme un peu différente: énumérer les façons de placer n paires de parenthèses en respectant le fait que chaque parenthèse fermante doit être associée à une et une seule parenthèse ouvrante la précédant.

[invite23cdddab]

On rencontre cette question en combinatoire sous une forme un peu différente: énumérer les façons de placer n paires de parenthèses en respectant le fait que chaque parenthèse fermante doit être associée à une et une seule parenthèse ouvrante la précédant.

Non, ça n'est pas équivalent au problème posé ici.

()(()) est identique à (())() ici, alors que dans la version habituelle, ce sont des configurations distinctes

[invite9dc7b526]

()(()) est identique à (())() ici, alors que dans la version habituelle, ce sont des configurations distinctes

ah oui, exact.

[Médiat]

On rencontre cette question en combinatoire sous une forme un peu différente: énumérer les façons de placer n paires de parenthèses en respectant le fait que chaque parenthèse fermante doit être associée à une et une seule parenthèse ouvrante la précédant.

Et non, ce ne sont pas les nombres de Catalan, mais je trouve que c'est une bonne façon de "voir" le problème.

[Médiat]

pour l'élément neutre de l'addition (qui est bien absorbant pour la multiplication, on peut prendre le vide (l'absence de ovoïdes).

[invite23cdddab]

Redrum13, l'addition n'est pas définie comme ça. Ce que a écrit ressemble plutôt à la multiplication. L'addition, c'est simplement mettre ensemble les deux groupes

pour l'élément neutre de l'addition (qui est bien absorbant pour la multiplication, on peut prendre le vide (l'absence de ovoïdes).

Ce qui est rigolo, c'est que pour la multiplication, le vide est absorbant à gauche, et neutre à droite

[Médiat]

neutre à droite

Il n'est pas absorbant à droite (je n'avais pas fait attention), mais il n'est pas neutre non plus, c'est plutôt () qui est neutre à droite.

si j'ai bien compris la multiplication

[invite23cdddab]

Ah oui, exact !

Donc () est bien le neutre (à gauche et à droite) pour la multiplication. Par contre il n'y a pas d'élément absorbant à droite.

A noter tout de même que l'on peut retrouver les nombres entiers classique parmi ces "nombres englobants". 1 = (), 2=()(), 3=()()() , etc. Et la multiplication et l'addition sont alors celles usuelles

[ulyss]

Il n'est pas absorbant à droite (je n'avais pas fait attention), mais il n'est pas neutre non plus, c'est plutôt () qui est neutre à droite.

si j'ai bien compris la multiplication

Bonjour,

Oui c'est cela Mediat. Avec cette définition de la multiplication c'est () qui est neutre à droite, alors que a pour effet de "supprimer" tous les "petits cercles".

Effectivement Minushaben on peut représenter les "nombres englobant" avec des parenthèses (mais il faut supprimer les doublons, comme vous l'a fait remarquer Tryss2). Néanmoins le nombre de Catalan n'est pas la bonne réponse ici...

Redrum : Pour définir la multiplication on remplace chaque petit cercle du facteur de gauche par l'intégralité du facteur de droite...

Comme ici :


Merci Seirios, j'avais déjà pensé à la présentation de ces "nombres englobants" avec des parenthèses, mais pas encore avec des graphes...
Si j'ai bien compris votre idée, pour représenter les nombres "englobants" à 3 ovoïdes, on prend un graphe orienté à trois sommet (avec probablement des conditions supplémentaires à imposer aux relations ou "flèches")

Quelle structure pour ces nombres?

Pour l'ensemble muni de la loi + je crois que l'on a un monoïde, c'est-à-dire un demi-groupe avec un élément neutre (le vide).
Pour l'ensemble muni de + et il y a un problème... absence de distributivité de sur +
Donc on n'a ni anneau ni même un annélide...

Pour l'ensemble muni de on a peut-être aussi un monoïde avec () comme élément neutre...

Après est-il possible de définir des opposés, des inverses? (Pour avoir une structure de groupe, d'anneaux, de corps...)
Je ne sais pas trop.

J'ai décompté le nombre de nombres englobants :
n=1 ==> 1
n=2 ==> 2
n=3 ==> 4
n=4 ==> 9
n=5 ==> 20

(Si je ne me suis pas trompé)

DecompteEnglobants.jpg

J'avais pensé définir la multiplication autrement (on reproduit le nombre de droite dans chaque petit "cercle" de gauche en l' "englobant" comme écrit sur l'image ci jointe), mais cela ne convient pas trop (car alors il n'y a plus d'élément neutre pour la multiplication).

[ulyss]

Tout à fait Tryss2... on a ici une sorte d' "extension" des nombres entiers... en définissant ceux-ci comme vous l'avez fait...
C'est là l'intérêt de ce "nouvel ensemble"...

[invite6bfdf32a]

Et non, ce ne sont pas les nombres de Catalan, mais je trouve que c'est une bonne façon de "voir" le problème.

Le nombre de Catalan permet de calculer le nombre d'arbres planaires enracinés à n arêtes.
Dans notre cas, il faudrait trouver le moyen de retrancher les symétries.

Par exemple dans notre système ovoîde, à l'ordre 4, (())()() , ()(()) et ()()(()) sont le même et unique élément.

Or, sur un arbre planaire on décompte 3 éléments distincts.

Ce n'est donc pas une symétrie triviale, et à chaque ordre supérieur, doivent apparaitre d'autres symétries du même type.

Mais, comment les dénombrer pour pouvoir les retrancher du nombre de Catalan?

[invite332de63a]

J'ai une idée pour peut-être résoudre le problème de la multiplication non associative. Je note * la multiplication comme annoncée dans le premier post et celle que je vais introduire.

Pour un nombre englobant X, on note o[X] l'ordre de X étant le plus grand nombre d'ovoïdes imbriqués l'un dans l'autre.

Par exemple l'ordre de X=( () (()) ) est 3, on remarque alors que multiplier X trois fois à droite par donne 0, on peut aussi définir où l'on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

Ainsi je propose que .

Normalement avec cette définition 0 est un élément absorbant à droite et à gauche.

Exemple:

() ( () ) ( () () ) () = () ( () ) * ( () () ) () * ( () () ) () = ( () () ) () ( ( () () ) () ) * ( () () ) () = ( ( () () ) () ( () () ) () ) ( () () ) () ( ( ( () () ) () ( () () ) () ) ( () () ) () ) (et en réorganisant un peu) = () ( () () ) ( () () ( () () ) ( () () ) ) ( () ( () () ) ( () () ( () () ) ( () () ) ) )


De plus, le produit sur les entiers est respecté.

Seul problème, c'est long... Je ne suis pas sûr que l'associativité soit obtenue...

[invite332de63a]

Je teste l'associativité:

()() x [ ( () ) x () ( () ) ] = ()() x ( () ( () ) ( () ( () ) ) ) = ( () ( () ) ( () ( () ) ) ) ( () ( () ) ( () ( () ) ) )

[ ()() x ( () ) ] x () ( () ) = ( () ) ( () ) x () ( () ) = ( () ( () ) ( () ( () ) ) ) ( () ( () ) ( () ( () ) ) )

Sur cet exemple ça semble fonctionner...

[ulyss]

RoberTo-Bender : Très intéressante votre définition de o[X]... J'y avais pensé aussi, mais sans avoir l'idée de redéfinir la multiplication comme vous le proposez... o[X] est ce que j'appelle la caractéristique l[X] dans mon post précédent....

[ulyss]

Roberto-Bender : avec votre redéfinition de la multiplication () n'est plus neutre à gauche...

Si
.

Alors :
.

un peu problématique...

[ulyss]

Ah non désolé je me suis trompé...

.

(confusion de o[X] et de o[Y] )

[ulyss]

Avec la définitions :
.

Alors :


avec de manière simple :




et




Il y a ainsi le même nombre de facteurs X, Y et Z dans les deux expressions.
Mais comme la multiplication de base * n'est pas commutative, je ne vois pas comment cela peut marcher...
Enfin peut-être y a-t-il une finesse que je n'ai pas vue...

[ulyss]

Bon ma définition précédente de la relation d'ordre n'est pas complètement rigoureuse... mais en l'adaptant un peu on peut y arriver...

Je me pose une question :
A quelle condition deux englobants X et Y commutent-ils pour la multiplication de base * ?

J'ai une petite idée de réponse...

Hormis les entiers naturels usuels () ; ()() ; ()()() ; ....
Qui évidemment commutent.

Je crois qu'un nombre commute avec une puissance de lui-même (car la structure interne est conservée entre un englobant et une de ses puissances).

Mais, hormis les entiers entre eux, est-ce que les englobants commutent uniquement avec une de leur puissance, ou commutent-ils avec d'autres englobants?

On peut probablement tenter de démontrer cela en considérant les différentes caractéristiques des englobants (déterminant leur structure):
nombre de petits cercles de X ne contenant aucun cercle




..
..


en effet multiplier à droite par le vide "0" supprime tous les "petits cercles" de l'englobant...
avec o[X] étant le nombre d'étages ou nombre maximum de cercles imbriqués de X.

Remarque : on utilise ici la multiplication par 0 comme je l'ai indiquée... mais si on suit l'idée de Mediat (qui est très intéressante), en rendant 0 absorbant à droite par la définition même de la multiplication, alors on ne peut plus l'utiliser pour "supprimer" tous les petits cercles...

[invite332de63a]

Avec la définition :


avec de manière simple :




et

Il est vrai que, comme je l'avais pensé, il y des relations assez simples sur l'ordre d'un nombre. Mais il est vrai également que je ne vois absolument pas comment l'on peut démontrer l'associativité si elle est avérée...

[ulyss]

Je propose ici de définir une relation d'ordre sur les englobants...

Le nombre entier e (nombre total d'ovoïdes) d'un englobant E est appelé l "ordre" de ce nombre.
D'abord entre deux nombres englobant d'ordres différents, le plus grand est évidemment celui de plus grand ordre e.
Il reste à classer les "englobants" de même ordre.

Pour un nombre englobant on définit les différentes caractéristiques suivantes:
e ou n est l'ordre de ce nombre (le nombre d'ovoïdes)
m est le nombre de "petits cercles" (cercles qui ne comprennent aucun ovoïde) compris dans E0
p est le nombre de "cercles contenus dans aucun autre".
l est le nombre d'étages ou de degrés (nombre maximum de cercles imbriqués les uns dans les autres en partant du plus petit au plus grand)

Ainsi pour E :


On a: e = 5 ; m = 3 ; p = 2 ; l = 3

On dira qu'un englobant E est "monobloc" si p = 1. Pour un "monobloc" on définira l'entier k comme étant la caractéristique p de
l'intérieur de E (E sans le cercle externe)

On définit les deux opérateurs suivants sur les "englobants" :
- la disjonction D : on sépare E en p nombres englobants monoblocs


- l'intérieur I défini pour un monobloc seulement :



Relation d'ordre entre 2 englobants de même ordre :


Intuitivement on dira que l'on classe dans l'ordre des caractéristiques l (nombre d'"étages")
On définira l'ordre par récurrence.
Soit n un entier.
On suppose que tous les "englobants" d'ordre strictement inférieur à n sont classés (avec une relation d'ordre totale)

Soit et englobants d'ordre n.

• si alors on posera

• si alors :

- si ou on considère et
On compare alors et qui sont bien définis (car les englobants d'ordre inférieur à n sont tous classés de manière totale).
L'ordre de classement de et donne le classement de et

- si et alors on considère et
On compare alors et qui sont bien définis pour la même raison que précédemment.
L'ordre de classement de et donne le classement de et
(cela est possible car ces deux maximums sont d'ordre inférieur à n et donc sont classés.)


Pour initier la récurrence on pose :
- n = 2 : (()) > ()()
- n = 3 : ((())) > (()()) > (())() > ()()()

Voilà... je crois que cela permet d'obtenir un ensemble parfaitement ordonné...

Après dans cette définition j'ai mis l'accent sur la caractéristique l (le nombre d'étages ou nombre max de cercles imbriqués), on aurait sûrement pu aussi mettre l'accent sur la caractéristique m (nombre de petits cercles), et ainsi obtenir un autre ordre.

[Médiat]

Je pense avoir trouvé une réponse à la question "combien existe-il de "nombres englobants" d'ordre n (avec n formes ovoïdes)?", mais je suis loin d'être sûr de moi

J'avais raison de ne pas être sûr : j'avais oublié quelques symétries et donc ma formule était fausse

[invite6bfdf32a]

Alors si j'ai bien compris cf le schémas.
*As-tu un élément neutre pour l'addition?
* Peux-tu réexpliquer la multiplication?

[invite332de63a]

Je n'ai pas la démo claire mais je pense que ce procédé donne une bijection qui respecte l'addition mais ta multiplication est belle et bien distincte de celle usuelle sur les ordinaux. À voir si cela peut nous permettre de dénombrer tes nombres avec un nombre d'ovoïdes fixé.