Problème factorisation polynôme

[invitecb82f686]

Evidemment je sais que e^(2kpi/n) pour k = 0,...,n-1 sont les racines n-ièmes de l'unité. Donc :


De plus on a : 1/e^(2kpi/n) aussi racine n-ième de l'unité bien sûr, donc j'ai :


(car : si j'ai (x-a1)(x-2)...(x-an)=(x-1/a1)...(x-1/an) avec les a_i qui s'annulent pas, alors : (x-a1)(x-2)...(x-an) = (a1x-1)...(anx-1))

Mais ensuite, comment on passe à l'égalité voulue ? Parce que j'ai l'impression qu'on a :


bref, je vois pas pourquoi on aurait l'égalité, même si quand je regarde à la main, si je développe le terme en x^n dans le produit, j'ai x^n*e^(n-1)*pi donc si n impair (ou à l'inverse pair), j'ai donc le terme en x^n positif, et comme dans ce cas (-1)^n = 1, on retrouve bien le bon signe.

Enfin, ça doit être évident, mais bizarrement je bloque dessus...
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[invite51d17075]

bsr,
dans ta dernière ligne de formule, la première égalité est fausse.
le signe - du premier produit est unique, alors que tu le reportes sur chacun des termes du produit qcq en soit le nb, d'où un (-1)^n qui apparaît ensuite.

[invitecb82f686]

Je suis d'accord avec toi, ce que je voulais dire c'est on a l'égalité <=> n est impair, d'après moi.
Puisque si on sors un (-1)^n du produit pour pouvoir avoir un produit de la forme (1-x*a_i) avec a_i les racines du polynôme, on a l'égalité avec (-1)*produit (xa_i-1) <=> n est impair
Or dans l'énoncé, je dois bien montrer l'égalité, et ce pour tout n. Ce qui me semble bizarre. Mais en même temps quand on teste un peu avec les signes, l'égalité semble pas fausse (voir le premier post), c'est là où je comprends bien... ni comment arriver au résultat....

[invite51d17075]

non, tu ne m'a pas lu.
par ailleurs tu ne dis pas quelle égalité tu dois démontrer, quel résultat précisement !
Cdt

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