Factorisation d'un polynôme

[invite901e97c2]

on me demande de factoriser dans C[X] le polynome P suivant

P=(X+1)³-(-1)³

Pour le moment j'ai réussi à le factoriser sous une forme "réel" je n'arrive pas à aller plus loin. Voilà ce que j'ai obtenu pour le moment :

P=(X+2)(X²+X-1)
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[invite388e08ae]

Il te reste à trouver les racines du polynôme du second degré (discriminant, etc...).

[invite901e97c2]

ok je trouve alors :
P=(X+2)(X+1.618)(X-0.618)

Mais selon moi ce n'est pas une factorisation complexe (dans C[X]) comme demandé
Comment dois je faire pour factoriser de façon complexe ?

[invite57a1e779]

Les nombres réels sont des nombres complexes particuliers...
Toutefois, il me semble que la factorisation demandée devrait comporter des termes irrationnels, et non les décimaux 1.618 et 0.618.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite388e08ae]

Tu t'es trompé dans ta première factorisation, le polynôme du second degré c'est X²+X+1 qui donne des racines complexes.

Mais après même si c'est louche d'avoir un polynôme factorisable dans R[X] quand il est demandé dans C[X] dans un exercice, c'est pas fondamentalement faux ^^

[invited5b2473a]

Les nombres réels sont des nombres complexes particuliers...
Toutefois, il me semble que la factorisation demandée devrait comporter des termes irrationnels, et non les décimaux 1.618 et 0.618.

D'autant plus que pour ce trinôme, il y a comme racine un très célèbre nombre^^

[invite901e97c2]

Merci beaucoup grâce à la correction apporter à ma factorisation je trouve maintenant

P=(X+2)(X-j)(X-j')

avec j=exp(2*i*Pi/3) et j' (ou j barre)=exp(-2*i*Pi/3)

On me demande ensuite les racines. Ce sont bien -2, j et j' ?

On me demande également de montrer que le polynôme est scindé, comment dois je faire ?

[DarK MaLaK]

Salut, là il est déjà scindé puisqu'il n'y a que des facteurs de degré un. De plus, je crois qu'un théorème dit que tout polynôme est scindé dans le corps des complexes.

[invite388e08ae]

Salut, là il est déjà scindé puisqu'il n'y a que des facteurs de degré un. De plus, je crois qu'un théorème dit que tout polynôme est scindé dans le corps des complexes.

Yep c'est d'Alembert-Gauss ^^