Groupe altérné et invariants polynomiaux.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Je voudrais qu'on m'explique pourquoi : avec : sont les polynômes symétriques élémentaires pour allant de à , et : et est le sous groupe alterné opérant sur .

Merci d'avance.
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[invitecbade190]

Bref, , de sorte que est un polynôme annulateur de de degré : . Quel est donc : , et pourquoi, donc : pour conclure que : ?

Merci d'avance.

[invitecbade190]

On a : . Mais, je ne sais pas montrer que : ... Le savez vous ?

[invitecbade190]

On s'aperçoit que est un polynôme antisymétrique et par conséquent, il suffit d'élever au carré pour qu'il dévient symétrique. Par conséquent : pour qui est un polynôme de degré , et par conséquent,



Il reste à montrer pourquoi : .
Un peu d'aide, svp.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

svp, besoin d'aide.
Il ne me reste que montrer que : ... et ça, je suis persuadé que c'est vrai, mais je ne sais pas l'établir. ...
On peux remarquer que : est un foncteur contravariant, et la contravariance nous fait penser à la correspondance de Galois qui est contravariante aussi. Alors, comment exploiter la correspondance de Galois pour établir le résultat ?
Merci.

[invitecbade190]

Salut :

La solution se trouve quasiment ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Fundam..._Galois_theory
Le problème est que : n'est pas un corps, mais un anneau, donc, la formule : ne s'applique pas malheureusement lorsque n'est pas un corps, il me semble. Comment remédier à ce problème alors ? Y'a -t-il une théorie de Galois pour les anneaux ?

Merci.