Bonjour:
J'ai un petit problème de compréhension d'une proposition d'un cours et de sa demonstration:
Voiçi l'énoncé de la proposition:
Soit un anneau intègre et soit un élément non nul de . On suppose de plus que est de coefficient dominant inversible. Soit un autre élément de . Il existe et dans tels que:
.
ou .
Voiçi la démonstration de la proposition:
Comme le coefficient dominant de est inversible, on peut supposer ( quitte à multiplier par l'inverse de son coefficient dominant) que est unitaire.Notons:
Etudions l'image de dans l'anneau quotient . ( Rappelons que désigne l'idéal engendré par ). Si la classe d'équivalence de dans ce quotient a pour représentant un polynôme de degré plus petit que ou a pour représentant le polynôme nul, c'est gagné car ( si on note le représentant recherché), il existe dans tel que et on a obtenu le résultat escompté. Si est un polynôme de degré plus petit que ou est le polynôme nul, alors le représentant est tout trouvé: c'est . Sinon, la classe d'équivalence de dans admet le polynôme nul comme représentant. L'égalité suivante est donc vraie dans le quotient:
Cette égalité nous permet d'écrire le monôme ainsi que tous les monômes de la forme en fonction des monômes . Dans , le polynôme est donc égal à un polynôme ne s'écrivant qu'avec des monômes de degré strictement plus petit que . On a ainsi trouvé un représentant de la classe de dans comme voulu. Cela démontre notre proposition.
Ma question est que je ne comprends pas l'objet de la démonstration, qu'est ce qu'on a tendance à montrer exactement ... j'aimerai que vous me simplifier bien ces passages entre l'espace quotient , et l'idéal et tout ça et merçi infiniment !!!
-----