Anneau polynomiaux

[invitecbade190]

Bonjour:
J'ai un petit problème de compréhension d'une proposition d'un cours et de sa demonstration:
Voiçi l'énoncé de la proposition:
Soit un anneau intègre et soit un élément non nul de . On suppose de plus que est de coefficient dominant inversible. Soit un autre élément de . Il existe et dans tels que:
.
ou .
Voiçi la démonstration de la proposition:
Comme le coefficient dominant de est inversible, on peut supposer ( quitte à multiplier par l'inverse de son coefficient dominant) que est unitaire.Notons:
Etudions l'image de dans l'anneau quotient . ( Rappelons que désigne l'idéal engendré par ). Si la classe d'équivalence de dans ce quotient a pour représentant un polynôme de degré plus petit que ou a pour représentant le polynôme nul, c'est gagné car ( si on note le représentant recherché), il existe dans tel que et on a obtenu le résultat escompté. Si est un polynôme de degré plus petit que ou est le polynôme nul, alors le représentant est tout trouvé: c'est . Sinon, la classe d'équivalence de dans admet le polynôme nul comme représentant. L'égalité suivante est donc vraie dans le quotient:

Cette égalité nous permet d'écrire le monôme ainsi que tous les monômes de la forme en fonction des monômes . Dans , le polynôme est donc égal à un polynôme ne s'écrivant qu'avec des monômes de degré strictement plus petit que . On a ainsi trouvé un représentant de la classe de dans comme voulu. Cela démontre notre proposition.
Ma question est que je ne comprends pas l'objet de la démonstration, qu'est ce qu'on a tendance à montrer exactement ... j'aimerai que vous me simplifier bien ces passages entre l'espace quotient , et l'idéal et tout ça et merçi infiniment !!!
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[invited5b2473a]

Il s'agit de généraliser la division euclidienne polynomiale à A[X] avec A un anneau (et non un corps). Dire que L = P* Q + R avec deg R < deg P, Ccela revient à dire que L - R appartient à (P). Donc L et R sont dans la même classe d'équivalence dans A[X]/(P).

[invitecbade190]

Merçi indian58 pour ta reponse !!
j'ai pas encore compris un petit passage cité dans la même démonstration, tu peux me l'eclaircir un peu , le voiçi ce passage :

Sinon, la classe d'équivalence de dans admet le polynôme nul comme représentant. L'égalité suivante est donc vraie dans le quotient:

Cette égalité nous permet d'écrire le monôme ainsi que tous les monômes de la forme en fonction des monômes . Dans , le polynôme est donc égal à un polynôme ne s'écrivant qu'avec des monômes de degré strictement plus petit que .

[invited5b2473a]

P et 0 (polynôme identiquement nul) sont la même classe d'équivalence dans A[X]/(P) i.e. P = 0. Or P= a0+...an-1x^n-1+X^n. Donc X^n s'écrit comme combinaison linéaire des X^k (k<=n-1). Donc de même pour les X^n+i avec i >=0. Donc L = Sum(bkX^k) est une combinaison linéaire des X^k (k<=n-1).

[A voir en vidéo sur Futura]