anneau factoriel

[invitecbade190]

bonjour:
Pourriez vous me donner la démonstration de la proposition suivante:
Soit un anneau intègre.
1) Lemme d'Euclide : si est irreductible et alors ou .

2) la décomposition : tout élément de s'ecrit : ,est unique avec : : l'ensemble des éléments irréductibles et est inversible de .
j'ai pas compris la démonstration que j'ai dans mon cours parcequ'elle manque de details j'espère que vous pouvez m'aider et merçi infiniment !!
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[invitecbade190]

Bonjour :
Soit un anneau intègre et noethérien.
Soit : avec : un idéal de tel que n'a pas de décomposition de la forme : avec inversible et irréductibles.
On suppose que possède un élément maximal pour l'inclusion.
Ma question est : Pourquoi si est irréductible alors n'appartient pas .
et merçi infiniment !!

[invited5b2473a]

1 ) ab=pq. Donc a | pq. Or p est irréductible donc si a ne divise pas q il existe k(différent de 1 on suppose) tel que k|a et k|p. d'où k=p et p |a. Ainsi a |q et alors on p| p *q/a =b. Donc p|b.

[invite9cf21bce]

Salut.

1. Dans A intègre, si p irréductible divise ab, alors p divise a ou b.

C'est faux. Place-toi dans , qui est intègre puisqu'il se plonge dans .
Alors 2 est irréductible. En effet si , alors en passant au carré du module on trouve . En distinguant les cas possibles, on voit que forcément (ou ), d'où b=0 et a=1 ou -1, et est inversible.
D'autre part .
Et tu vérifieras aisément que 2 ne divise, ni , ni (toujours avec le carré du module).

La proposition correcte est en fait la réciproque. Si p non inversible et non nul vérifie le lemme d'Euclide, on dit que p est premier. On a alors : p premier implique p irréductible.

2. L'histoire d'unicité. Donnes-tu l'existence dans ton énoncé ? Je ne comprends pas très bien la phrase "tout élément x de A s'écrit : ... , est unique"

3. L'histoire du F. Si x est irréductible, alors x=1.x, donc x a une décomposition (u=1, n=1, p₁=x). Et si (x)=(y), alors comme x est non nul on trouve que y=sx avec s inversible (x=ty et y=sx donc x=tsx, donc ts=1), donc y a une décomposition (u=s, n=1, p₁=x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Salut,

Ne peut-on pas dire que justement x étant irréductible, x est déjà décomposé, et donc de la forme des a tels que (a) ne soit pas dans F ?

EDIT : bon j'arrive à la bourre, mais Taar et moi sommes d'accord c'est cool

[invite35452583]

Bonjour,
d'accord avec Taar et Gwyddon sur "si x irréductible alors x n'appartient pas à F". Ce qui termine de montrer (par l'absurde) que dans un anneau intègre et noetherien, tout élément se décompose (l'existence vient du caractère noetherien). En fait le caractère noetherien de l'anneau implique qu'il y a une fin au raisonnement : si x n'est pas irréductible c'est qu'il s'écrit x=x'x", si x' ou x" ne sont pas irréductibles ils se décomposent à leur tour... (la manipulation pratique du caractère noetherien d'un anneau fait que l'on doit modifier le raisonnement mais le principe de la nature noetherienne d'un anneau est la même : des suites de ce type s'arrête au bout d'un "temps" fini).
Pour le 1), Taar a raison de dire que tout anneau intègre (même noetherien) n'admet pas l'unicité des décompositions. Mais ce qui est demandé n'est pas la preuve du lemme d'Euclide pour les anneaux intègres (j'ai l'impression que Taar le présente ainsi) mais "lemme d'Euclide=>unicité" (en tout cas c'est comme cela que je comprends la question) (C'est le seul point de désaccord avec Taar en fait)
Taar a raison aussi de dire que celle-ci est mal précisée. Pour bien la préciser il faut dire ou rappeler que P n'est pas l'ensemble des irréductibles mais un ensemble contenant un représentant unique pour chaque classe d'irréductibles pour la relation d'équivalence "pRp' ssi il existe u inversible tel que p'=u.p".
Maintenant ceci étant fait, le lemme d'Euclide implique facilement l'unicité : par récurrence sur n=somme des v(p) pour une des deux décompositions.
Pour n=1, on a x=u.p=u'(p1^m1)...(pk^mk)
p=((u^(-1))u')(p1^m1)...(pk^mk)
Si m1+...+mk>1 p se décompose de manière non triviale ce qui contredit son irréductibilité. donc k=1, mk=m1=1 p=((u^(-1))u')p1 p et p1 sont dans la même classe que définie précédemment donc sont égaux.
0=(((u^(-1))u')-1)p et A intègre donc u=u'.
Supposons vrai pour n>1, et soit x=... avec une décomposition de taille n+1. Soit une autre décomposition, il y a aumoins un irréductible p' dans cette décomposition, lemme d'Euclide=>il est présent modulo produit par un unitaire dans la première décomposition, on peut le mettre en facteur dans la différence des deux décompositions ; l'anneau étant intègre il y a égalité entre les deux décompositions de départ auxquelles on a oté un p'. Mais la modifiée de la 1ère décompo étant de taille n, on a égalité entre les deux modifiées. On reprend les initiales et on montre que l'on a égalité formelle entre les u, les pi et les v(pi).

[invitecbade190]

Bonjour:
Pouriez vous m'expliquer pourquoi si alors est inclus dans avec : avec , et sont des ideaux principaux de et est un anneau !!
et merçi infiniment !!
merçi pour les reponses des deux premiers questions !!

[invitecbade190]

ça y est j'ai trouvé ... !!!
On a est un idéal de contenu dans et et d'après la définition de tel que : c'est le plus grand idéal de contenu dans et .. on déduit que est inclus dans !!!