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récurrence avec factoriel



  1. #1
    carter21

    récurrence avec factoriel


    ------

    Bonsoir à tous

    Je bloque au niveau d'une fin de récurrence

    Il s'agit de montre que pour tout k appartenant a N* ,

    (k!) > ou égal à 2k-1

    de doit donc montrer que

    (k+1)! > ou égal à 2k

    mais je ne sais si je dois partir de k pour arriver a k+1 ou partir de k+1 pour montrer que c'est bon pour k, dans les deux tentatives je n'ai pas trouvé.

    merci de votre aide

    -----

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  3. #2
    kNz

    Re : récurrence avec factoriel

    Salut,

    Tu peux dire que (k+1)! = (k+1)*k! et en utilisant l'hypothèse de récurrence..

  4. #3
    Osceola

    Re : récurrence avec factoriel

    Pour passer de à on multiplie par.. ?
    Pour passer de à on multiplie par... ?
    Lequel de ces deux termes est le plus grand (au sens large pour k=1, au sens strict pour les autres) ? Si on a préalablement , que peut-on alors en déduire pour ?

    Edit
    Oui bon le temps de me souvenir de \leq ou \geq..

  5. #4
    carter21

    Re : récurrence avec factoriel

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Salut,

    Tu peux dire que (k+1)! = (k+1)*k! et en utilisant l'hypothèse de récurrence..

    j'arrive au final a k>1 mais ça ne me valide pas l'hypothèse et pour Osceola je ne vois pas trop ce que tu veux dire

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    kNz

    Re : récurrence avec factoriel

    Mais non tu y es presque, tu peux dire quoi de (k+1)k! avec ton HR ?

  8. #6
    carter21

    Re : récurrence avec factoriel

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Mais non tu y es presque, tu peux dire quoi de (k+1)k! avec ton HR ?

    j'en déduit que (k+1)k! > 2k-1x(k+1)

    donc (k+1)! > 2k x (k+1)/2

    mais c'est (k+1)/2 qui m'empeche de valider, car si on a par exemple 5> 2 , on pas 5>2x3

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  10. #7
    Osceola

    Re : récurrence avec factoriel

    Oui, pardon, j'ai mélangé un k et un k-1.

    Quand tu as , ne peux-tu pas mettre en évidence que (k+1)/2 est supérieur à 1, et conclure ?

  11. #8
    carter21

    Re : récurrence avec factoriel

    Je suis désolé je ne comprends toujours pas la fin ( peut être parce que il est 23h48 et que le bac blanc m'a épuisé lol) si (k+1)/2 est supérieur a 1 cela ne veut donc pas dir que l'encadrement reste vérifié d'apres moi ?

  12. #9
    kNz

    Re : récurrence avec factoriel

    Citation Envoyé par carter21 Voir le message
    j'en déduit que (k+1)k! > 2k-1x(k+1)
    et (k+1) est supérieur à ?

  13. #10
    Gwyddon

    Re : récurrence avec factoriel

    Salut,

    Tu parles d'encadrement : où vois-tu un encadrement ?

    Sinon as-tu compris pourquoi pour k>0 ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    carter21

    Re : récurrence avec factoriel

    oui (k+1) > 2 car k>1 d'apres le rang de départ

    mais si on a k = 1, on trouve ce que je cherche. mais si k est supérieu a un, il y aura alors un coéfficient à 2k ce qui ne respecte pas forcément l'inégalité

  15. #12
    Gwyddon

    Re : récurrence avec factoriel

    Je ne comprend pas où est ton problème
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  17. #13
    kNz

    Re : récurrence avec factoriel

    Citation Envoyé par carter21 Voir le message
    oui (k+1) > 2 car k>1 d'apres le rang de départ

    mais si on a k = 1, on trouve ce que je cherche. mais si k est supérieu a un, il y aura alors un coéfficient à 2k ce qui ne respecte pas forcément l'inégalité
    J'ai pas compris là :?
    Ce qu'il faut que tu montres, c'est que (k+1)! > 2k
    Et c'est ce que tu as fait :

    (k+1)! = (k+1)k! >= 2k-1(k+1) d'après l'hypothèse de récurrence

    Maintenant que tu en es là, tu peux dire que c'est supérieur à quoi cette dernière expression ? (comme k >= 1)

    edit : grilled

  18. #14
    carter21

    Re : récurrence avec factoriel

    Je m'explique :

    on a (k+1)! > 2k x (k+1)/2

    il faut montrer (k+1)! > 2k

    mais on me dit que (k+1)/2 supérieur à 1. donc si k = 1, on obtient 2/2 ce qui donne bien
    (k+1)! > 2k

    mais si maintenant par exemple on prenais k = 2, on obtiendrait pas 2k , ce qui ne respecte donc pas forcément l'inégalité ( par ex 5>2 différent de 5>3x2)

  19. #15
    kNz

    Re : récurrence avec factoriel

    Non ça marcherait tout aussi bien, même mieux. Ce qu'il faut que tu vois c'est que k+1 >= 2 donc (k+1)/2 >= 1 donc 2k*(k+1)/2 >= 2k

    Non ?

  20. #16
    carter21

    Re : récurrence avec factoriel

    Si tu étais à côté de moi je te demanderais de m'en mettre une mdr c'est tellement logique ....

    en tout cas merci beaucoup à vous car j'ai faillit
    Parfois c'est tellement simple que je cherche à compliquer.

    Une derniere petite question en général sur la récurrence, car pour certaines dures je bloque : on part de HR pour arriver au rang n+1 ?

    Par exemple lorsque je dit " montrons que la propriété est vraie au rang n+1 , c'est à dire (k+1)! .... "
    je dois partir de HR pour arriver à ce que j'annonce dans la phrase ?

  21. #17
    spaceman92

    Re : récurrence avec factoriel

    bonjour,
    Le but de lhypotese de recurence c'est de partir avec une equation valable pour pour le rang n, tu demontre quelle est valable pour n=0 ou 1 (ca depend comme tu appel l'initialisation de la recurence) et ensuite tu demontre quelle est aussi valable pour le rang n+1(sans l'initialisation tout ceci ne sert a rien car si tu n'a pas de valeur de depart comment passer au rang superieur??).

    Dans ton cas tu as l'hypothese du (k+1)!=... ensuite tu arrive grace des manipulation d'une extreme complexité et grace a l'hypothese du k! a une equation tjr valable sur le k+1>=2...pour moi ca suffit mais la facon de faire des autres est tres bien aussi.

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