Bonjour à vous,
Voila dans un exercice je dois démontrer que(p appartient à R) est supérieur à
J'ai essayé d'introduire une suite pour montrer qu'elle est positive mais j'obtient une suite à 2 inconnues...
Je m'en remets à vous pour m'écairer sur ce problème...
Merci
Bobby
Bonjour,
Comment tu définis p! pour p réel?
-- françois
On définit p comme un entier naturel tel que p supérieur ou égal à 2
C'est bien ce que je pensais... (pour p réel il faut utiliser la fonction gamma mais je ne pense pas que tu connaisses au niveau du lycée). Et le n qui sert de borne supérieure à ta somme c'est quoi?
-- françois
Merci pour ta réponse aussi rapide ,
Non effectivement je ne connais pas la fonction gamma mais si tu as le temps de me l'expliquer je suis preneur!!
Justement c'est la borne supérieure de ma somme qui me pose problème car dans cet exercice la 1ère question ou je dois utiliser cette propriété , on a 2 suites et je dois montrer que u5 est une minorant de Vn ce qui est ce cas une application de la formule avec p=5.
Mais dans ce cas pas de problème car on fais varier n (n : entier naturel supérieur ou égal à 1)
Mais ensuite je dois utiliser cette formule dans le cas général avec p. Or j'ai 2 inconnues dans mes suites( p et n) donc je ne vois pas comment définir une suite avec cela???
J'espère avoir été assez clair...
Bobby
Bon, pour la fonction gamma, juste pour ta culture générale, la définition:
où z est une variable complexe. Si z est un entier naturel >=1, on a
ce qui fait que gamma est un genre d'extension de la factorielle aux nombres complexes. Mais ça suppose de savoir calculer des intégrales dans le plan complexe, ce qui n'est pas vraiment du niveau lycée...
Maintenant en ce qui concerne ton exo je ne vois pas bien comment on introduit ce n... Tu pourrais poster l'énoncé?
-- françois
Bon je poste l'énoncé complet
Soit Un et Vn définies par :
Un=
et Vn = Un + 1/n!
1_ Calculer U0, U1 .... U5 et pareil pour Vn
OK
2_ Démonter que Un est croissante et Vn est décroissante à partir de l'indice 1.
OK
3_ Démontrer que V5 est un majorant de Un et U5 est un minorant de Vn à partir de l'indice 1.
Problème : on en revient à la problématique de départ ; en effet en faisant V5-Un j'arrive au résultat à démontrer...
4_ Démontrer que tout terme de Vn et d'indice non nul est un majorant de Un et que tout terme de Un est un minorant de Vn.
Problème : on arrive au cas avec n et p...
5_ On admet que Un converge vers une limite e. Démontrer que Vn converge vers cette même limite e.
OK
6. Montrer que e est un irrationnel et déterminer une valeur à 10^-3 près
OK : e environ égal à 2,718
Voila voila
Merci d'avance
Bobby
Bon, là je vois mieux. Mais il me semble que la question 4 est particulièrement évidente, puisque tu as toujours:Vn - Un = 1/n! > 0Du coup, je ne vois plus très bien l'intérêt de la question 3?
Ou alors, il faut monter que tout terme de la suite (Vn) majore tout terme de la suite (Un). Autrement dit, montrer que pour tout n>0 et tout p>0 on a:Vn - Up > 0Je crois plutôt que c'est ça. Il ne faut pas utiliser le même indice pour les deux suites sinon on ne s'y retrouve pas... Ici il faut considérer n comme fixé, et montrer que pour tout p, Vn - Up > 0. Je regarde si j'y arrive, ça doit être jouable.
-- françois
Oui oui, il faut travailler avec n et p.
J'avais bien pensé à la première solution mais c'était trop beau pour être vrai...
Merci pour ta recherche, je l'espère fructueuse.
Bobby
Bon, je pense avoir une idée, mais ça reste à confirmer proprement. Comme on aVn = Un + 1/n!on a doncVn - Up = (Un + 1/n!) - Up = (Un - Up) + 1/n!et comme on sait que (Un) est croissante, (Vn) décroissante, on a pour p<n,Vn - Up = (Un - Up) + 1/n! > 1/n! > 0Pour p>=n je ne vois pas encore... J'ai dû prendre les choses par le mauvais bout, ou alors il faut des majorations plus subtiles. Mais c'est un indice.
-- françois
J'en étais justement là. C'est sur pour p<=n pas de problème mais pour p>=n je trouve :
Vn-Up>0 si et seulement si,
Retour à la case départ.
Et c'est la que j'ai essayé d'introduire la suite :
Wn=
Bobby
Bonjour,
vous cherchez bien compliqué, tout est dans la question 2) et dans le fait que un<vn pour tout n.
On a u1<u2<u3<u4<u5<u6<...<...v6<v5 <v4<v3<v2<v1.
Pourquoi l'indice 5 a été mis en avant ? Je ne sais pas , pour troubler peut-être.
Le 6) te paraît si simple que cela de montrer que e est un irrationnel ?
Merci pour ta réponse homotopie.
Comme quoi il ne faut pas chercher trop compliqué!!
Pour montrer que c'est un irrationel j'ai raisonné par l'absurde en posant e=l/q avec l et q entiers et j'arrive à une contradiction.
Merci pour votre aide
Bobby
Je peux donc affirmer que :
Comme Un<Vn et on a
_Un croissante
_Vn décroissante
Tout terme de Un est un minorant de Vn et tout terme de Vn est un majorant de Un en particulier pour n=5.
Le raisonnement est-il exact?
Merci
Bobby
Tiens, le temps que je sorte faire quelques courses et c'et trouvé... C'est vrai qu'en rentrant ça m'a sauté aux yeux, comme quoi prendre un peu l'air ça fait du bien!
-- françois
Oui, car il reste avec le seul indice n (ce qui n'apporte rien de plus).Envoyé par Bobby Watson
je le fais pour "u5 minore tous les vn"
Pour v(<5), on a u5<v5 et v5<v(<5) donc u5<v(<5)
Pour v(>5), on a u5<u(>5) et u(>5)<v(>5) donc u5<v(>5)
(<5) signifiant pour un indice inférieur strictement à 5, définition analogue pour (>5).
OK, je craignais la question survolée car elle me paraît plus délicate que le reste, bravo.
Merci pour votre aide précieuse!
A bientôt
Bobby
