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problème factoriel



  1. #1
    Bobby Watson

    problème factoriel


    ------

    Bonjour à vous,

    Voila dans un exercice je dois démontrer que (p appartient à R) est supérieur à

    J'ai essayé d'introduire une suite pour montrer qu'elle est positive mais j'obtient une suite à 2 inconnues...

    Je m'en remets à vous pour m'écairer sur ce problème...

    Merci

    Bobby

    -----

  2. #2
    fderwelt

    Re : problème factoriel

    Bonjour,

    Comment tu définis p! pour p réel?

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  3. #3
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    On définit p comme un entier naturel tel que p supérieur ou égal à 2

  4. #4
    fderwelt

    Re : problème factoriel

    C'est bien ce que je pensais... (pour p réel il faut utiliser la fonction gamma mais je ne pense pas que tu connaisses au niveau du lycée). Et le n qui sert de borne supérieure à ta somme c'est quoi?

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    Merci pour ta réponse aussi rapide ,

    Non effectivement je ne connais pas la fonction gamma mais si tu as le temps de me l'expliquer je suis preneur!!

    Justement c'est la borne supérieure de ma somme qui me pose problème car dans cet exercice la 1ère question ou je dois utiliser cette propriété , on a 2 suites et je dois montrer que u5 est une minorant de Vn ce qui est ce cas une application de la formule avec p=5.
    Mais dans ce cas pas de problème car on fais varier n (n : entier naturel supérieur ou égal à 1)
    Mais ensuite je dois utiliser cette formule dans le cas général avec p. Or j'ai 2 inconnues dans mes suites( p et n) donc je ne vois pas comment définir une suite avec cela???

    J'espère avoir été assez clair...

    Bobby

  7. #6
    fderwelt

    Re : problème factoriel

    Bon, pour la fonction gamma, juste pour ta culture générale, la définition:

    où z est une variable complexe. Si z est un entier naturel >=1, on a

    ce qui fait que gamma est un genre d'extension de la factorielle aux nombres complexes. Mais ça suppose de savoir calculer des intégrales dans le plan complexe, ce qui n'est pas vraiment du niveau lycée...

    Maintenant en ce qui concerne ton exo je ne vois pas bien comment on introduit ce n... Tu pourrais poster l'énoncé?

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  8. #7
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    Bon je poste l'énoncé complet

    Soit Un et Vn définies par :

    Un=

    et Vn = Un + 1/n!

    1_ Calculer U0, U1 .... U5 et pareil pour Vn
    OK

    2_ Démonter que Un est croissante et Vn est décroissante à partir de l'indice 1.
    OK

    3_ Démontrer que V5 est un majorant de Un et U5 est un minorant de Vn à partir de l'indice 1.

    Problème : on en revient à la problématique de départ ; en effet en faisant V5-Un j'arrive au résultat à démontrer...

    4_ Démontrer que tout terme de Vn et d'indice non nul est un majorant de Un et que tout terme de Un est un minorant de Vn.

    Problème : on arrive au cas avec n et p...

    5_ On admet que Un converge vers une limite e. Démontrer que Vn converge vers cette même limite e.

    OK

    6. Montrer que e est un irrationnel et déterminer une valeur à 10^-3 près

    OK : e environ égal à 2,718

    Voila voila


    Merci d'avance

    Bobby

  9. #8
    fderwelt

    Re : problème factoriel

    Bon, là je vois mieux. Mais il me semble que la question 4 est particulièrement évidente, puisque tu as toujours:
    Vn - Un = 1/n! > 0
    Du coup, je ne vois plus très bien l'intérêt de la question 3?

    Ou alors, il faut monter que tout terme de la suite (Vn) majore tout terme de la suite (Un). Autrement dit, montrer que pour tout n>0 et tout p>0 on a:
    Vn - Up > 0
    Je crois plutôt que c'est ça. Il ne faut pas utiliser le même indice pour les deux suites sinon on ne s'y retrouve pas... Ici il faut considérer n comme fixé, et montrer que pour tout p, Vn - Up > 0. Je regarde si j'y arrive, ça doit être jouable.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  10. #9
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    Oui oui, il faut travailler avec n et p.

    J'avais bien pensé à la première solution mais c'était trop beau pour être vrai...

    Merci pour ta recherche, je l'espère fructueuse.

    Bobby

  11. #10
    fderwelt

    Re : problème factoriel

    Bon, je pense avoir une idée, mais ça reste à confirmer proprement. Comme on a
    Vn = Un + 1/n!
    on a donc
    Vn - Up = (Un + 1/n!) - Up = (Un - Up) + 1/n!
    et comme on sait que (Un) est croissante, (Vn) décroissante, on a pour p<n,
    Vn - Up = (Un - Up) + 1/n! > 1/n! > 0
    Pour p>=n je ne vois pas encore... J'ai dû prendre les choses par le mauvais bout, ou alors il faut des majorations plus subtiles. Mais c'est un indice.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  12. #11
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    J'en étais justement là. C'est sur pour p<=n pas de problème mais pour p>=n je trouve :

    Vn-Up>0 si et seulement si,
    +>=0...
    Retour à la case départ.

    Et c'est la que j'ai essayé d'introduire la suite :
    Wn= + en montrant qu'elle était positive mais comment faire car on a 2 variables p et n...

    Bobby

  13. #12
    homotopie

    Re : problème factoriel

    Bonjour,
    vous cherchez bien compliqué, tout est dans la question 2) et dans le fait que un<vn pour tout n.
    On a u1<u2<u3<u4<u5<u6<...<...v6<v5 <v4<v3<v2<v1.
    Pourquoi l'indice 5 a été mis en avant ? Je ne sais pas , pour troubler peut-être.

    Le 6) te paraît si simple que cela de montrer que e est un irrationnel ?

  14. #13
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    Merci pour ta réponse homotopie.
    Comme quoi il ne faut pas chercher trop compliqué!!

    Pour montrer que c'est un irrationel j'ai raisonné par l'absurde en posant e=l/q avec l et q entiers et j'arrive à une contradiction.

    Merci pour votre aide

    Bobby

  15. #14
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    Je peux donc affirmer que :

    Comme Un<Vn et on a
    _Un croissante
    _Vn décroissante

    Tout terme de Un est un minorant de Vn et tout terme de Vn est un majorant de Un en particulier pour n=5.

    Le raisonnement est-il exact?

    Merci

    Bobby

  16. #15
    fderwelt

    Re : problème factoriel

    Tiens, le temps que je sorte faire quelques courses et c'et trouvé... C'est vrai qu'en rentrant ça m'a sauté aux yeux, comme quoi prendre un peu l'air ça fait du bien!

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  17. #16
    homotopie

    Re : problème factoriel

    Citation Envoyé par Bobby Watson Voir le message
    Je peux donc affirmer que :

    Comme Un<Vn et on a
    _Un croissante
    _Vn décroissante

    Tout terme de Un est un minorant de Vn et tout terme de Vn est un majorant de Un en particulier pour n=5.

    Le raisonnement est-il exact?

    Merci

    Bobby
    Oui, car il reste avec le seul indice n (ce qui n'apporte rien de plus).
    je le fais pour "u5 minore tous les vn"
    Pour v(<5), on a u5<v5 et v5<v(<5) donc u5<v(<5)
    Pour v(>5), on a u5<u(>5) et u(>5)<v(>5) donc u5<v(>5)
    (<5) signifiant pour un indice inférieur strictement à 5, définition analogue pour (>5).

    Citation Envoyé par Bobby Watson Voir le message
    Pour montrer que c'est un irrationel j'ai raisonné par l'absurde en posant e=l/q avec l et q entiers et j'arrive à une contradiction.
    OK, je craignais la question survolée car elle me paraît plus délicate que le reste, bravo.

  18. #17
    Bobby Watson

    Re : problème factoriel

    Merci pour votre aide précieuse!

    A bientôt

    Bobby

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