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Aide Résolution Intégrale



  1. #1
    Haomaru

    Aide Résolution Intégrale


    ------

    Bonsoir, je suis en BTS Informatique et j'ai un exercice a faire sur les intégrales. Je bloque a une question ce qui me fait arreter l'exercice a la moitié..
    Pourriez vous m'aider ?? Je vous donne l'enoncé :

    En utilisant l'exponentielle complexe calculer l'integrale I = exp(-x)*sin(2x)dx je ne sais pas faire le signe de l'integrale mais c'est 0 en bas et pi/2 en haut...

    C'est assez urgent alors j'espere que vous pourrez m'aider..

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    folky

    c'est pas dur avec l'indication

    sin(2x)= (exp(2ix)-exp(-2ix))/2i

    donc ça donne exp(-x)sin(2x)=(exp((2i-1)x)-exp(-(2i+1)x))/2i

    Apres integration ça donne:


    [exp((2i-1)x)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)x)/(2i-4)]

    Voila sauf erreur c'est ça, tu n'as plus qu'a prendre les valeurs en 0 et pi/2

  4. #3
    Haomaru

    Bonjour,

    merci pour l'aide mais j'ai essayé de continuer et je suis encore bloqué car je me retrouve encore avec des "i" or je pense qu'il ne devrait plus y en avoir a la fin....

    Quelqu'un pourrait me montrer comment calculer cette integrale sur 0 pi/2 ?

    Merci d'avance

  5. #4
    curieux

    Il te faut alors écrire les complexes 1/(-4-2i) et 1/(-4 + 2i) sous une forme exploitable
    (-1/5) + (1/10)i pour l'un et (-1/5) - (1/10)i pour l'autre

    tu regroupes alors (-1/5)*exp(-x)*(exp(2ix) + exp(-2ix)) qui te donne du cos(2x)
    et tu regroupes (1/10)i*exp(-x)(exp(2ix) - exp(-2ix))
    la dernière parenthèse donne du 2isin(2x) et les "i" finissent par s'éliminer.

    cependant.... il était tellement plus simple de chercher une primitive de exp(-x)*sin(2x) sous la forme (asin(2x) + bcos(2x))exp(-x)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    folky

    c'est normal qu'il y ait des i
    Ceci dit y a toujours moyen de les camouflés

    Ceci dit si tu prévères pas les avoir, une primitive de ta fonction en utilisant ce que dit curieux c'est:

    -(2cos(2x)+sin(2x))*exp(-x)/5

    Ton résultat final doit etre : 2*exp(-pi/2)/5+2/5

  8. #6
    Haomaru

    ok,

    le resultat donne F(x) = (-1/5)*[cos(2x)+sin(2x)] ??

    merci pour l'aide et merci de me corriger si j'ai faux....

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  10. #7
    folky

    je t'ai mis la réponse au dessus qui normalement est la bonne

    Dans la tienne il manque au moins l'exponentielle ça c'est sur

  11. #8
    Haomaru

    rebonjour,

    je ne comprend pas trop ce qu'a fai curieux...

    Folky, ca serai possible que tu me detaille un peu a partir du moment ou on trouve :

    exp(-x)*sin(2x) = [exp(x(2i-1)) - exp(x(-2i-1))] / 2i

    Ca serai sympa si tu me detaillais les etapes jusqu'a arriver a une primitive sans les "i"...

    Merci beaucoup, et désolé de te redemander ca mais j'ai vraiment du mal... :?

  12. #9
    folky

    déjà est ce que tu connais cette formule:

    sin(2x)= (exp(2ix)-exp(-2ix))/2i

    si tu connais pas recherche formule de moivre et euler, ce sont des formules tres utilisées pour passer des sinus et cosinus aux exponentielle.

    Ensuite dans ta question on te demande d'utiliser l'exponentiel complexe, donc c'est normal que t'as primitif ait des i.
    Si tu utilises la méthode de curieux ça marche mais tu réponds pas vraiment avec ce qu'on te demande d'utiliser.
    Pour terminer ce n'est pas important que ta solution comporte des i ou pas ça c'est juste une question d'écriture.

    Je résume:

    sin(2x)= (exp(2ix)-exp(-2ix))/2i (formule à connaitre)

    quand tu multiplies avec l'exponentielle ça donne ça:

    exp(-x)sin(2x)=(exp((2i-1)x)-exp(-(2i+1)x))/2i

    Ensuite la primitive de exp(ax) c'est exp(ax)/a lorsque a est une constante.
    Donc tu trouves: [exp((2i-1)x)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)x)/(2i-4)]

    Voila, je sais que c'est pas détailler mais c'set infernal à faire sur forum
    Enfin hésite pas si tu tilts toujours pas

  13. #10
    Haomaru

    salut,
    jusque la je comprend

    mais c'est a partir de la jusqu'a la primitive finale sans les "i" que j'ai du mal a comprendre...
    Curieux a tenté de m'expliquer comment faire mais c'est aller un peu vite pour moi donc est-ce que tu pourrai m'en dire un peu plus sur son raisonnement pour arriver a la primitive = -(2cos(2x)+sin(2x))*exp(-x)/5
    ??

    merci d'avance pour ton aide

  14. #11
    folky

    [exp((2i-1)x)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)x)/(2i-4)] =-(2cos(2x)+sin(2x))*exp(-x)/5


    Mais c'est pas facile de passer de l'une a l'autre "facilement", curieux sait qu'il existe une primitive sous cette forme (ça se démontre) donc en partant de la forme général, tu la dérives pour trouver les constantes.

    Mais c'est pas important ça ^^
    Pour répondre a ta question faut utiliser la premiere, je te fais le début:
    en pi/2 ça vaut:

    [exp((2i-1)pi/2)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)pi/2)/(2i-4)]

    maintenant il faut savoir que exp(-i*pi) ça fait -1.
    Ca donne donc:

    exp(-pi/2)/(4+2i)+exp(-pi/2)/(4-2i)

    =exp(-pi/2)(1/(4+2i)+1/(4-2i))

    =exp(-pi/2)(8/20)

    =2exp(-pi/2)/5


    Voila tu n'as plus qu'a faire la meme chose avec 0
    Je te rappele que tu dois trouver 2*exp(-pi/2)/5+2/5

  15. #12
    pallas

    Suis la methode de curieux qui part du principe qu'une primitive de e(-x) (sin2x )est de la forme e(-x)(acos2x + b sin2x) =F(x)
    En dérivant on obtient F'(x) = e(-x)( -acos2x -bsin2x -2asin2x +2bcos2x)(f'g+fg')
    En identifiant avec e(-x)sin2x on obtient le système -a+ 2b = 0 avec -2a -b =1
    soit a = -2/5 et b = -1/5
    d'où une primitive de la fontion est e(-x) ((-2/5)cos2x -(1/5)sin2x) ceci à prendre entre les bornes 0et pi/2
    soit F(pi/2) - F(0) soit F(pi/2)=(2/5) e(-pi/2) et F(0) =-2/5
    d'où le résultat (2/5) ( e(-pi/2) +1)

    A +

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  17. #13
    trisk

    arréter avec les "i" y'en a pas besoin, fait une intégrale par partie deux fois de suite:

    résultat: (2/5)*((e^(-pi/2))-1)

    Et sans vouloir me vanter, le résultat est garantis!!!!!!!

  18. #14
    Jo

    Bonjour tt le monde!

    Y'a une solution encore plus simple.
    Tu dis que sin(2x)=Im(exp(2x)).(ie que sin(2x) est la partie imaginaire de exp(2x)).
    Et d'apres les propriétées lineaires de l'integrale, tu as que
    Integrale(Im(f(x))) = Im(Integrale(f(x)))

    Ton resultat sera donc Im(Integrale(exp(-x)*exp(2x)dx)) = Im(Integrale(exp(x)dx) = Im(exp(x)) = sin(x).
    Voila.
    Bye!

  19. #15
    trisk

    désolé, me suis trompé sur le clavier, un - au lieu d'un plus, la demonstartion est à cette adresse:

    http://trisknetwork.free.fr/divers/integrale.jpg

    A+

  20. #16
    folky

    jo ce que tu as écris est tres faux
    tu fais renter l'exponentielle dans la partie imaginaire de sin(2x) sans rien changer alors qu'il aurait fallu décomposer exponentielle.....


    trisk je suis d'accord que l'integration par partie marche mais c'est quand meme plus long je pense, mais surtout la question c'est
    en utilisant l'exponentielle complexe résoudre cette intégrale
    C'est pas comme si on avait le choix de la méthode

  21. #17
    Haomaru

    merci a tous mais le devoir voulai que j'utilise l'exponeitlle complexe c'est pour ca..

    merci a vous j'ai résusi grace a foly

  22. #18
    folky

    cool

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  24. #19
    trisk


    Zut alors, j'étais fier de moi, m'enfin ! comme au lycée, je ne lis jamais les énoncés jusqu'au bout !

    Dans tous les cas je suis content que tu es réussi, même si je ne sert pas à grand chose !!!!


  25. #20
    dupo

    bonjour,
    personellement, je trouve toujours dangereux d'intégrer les fonctions complexes....
    j'évite au possible, pas vous ?
    j'aurais pris l'initiative même si le devoir nous l'imposait de choisir une autre méthode plus simple théoriquement, et dont on puisse manipuler sans craintes.

  26. #21
    folky

    je vois pas ou le problème, il faut juste considerer le i comme une constante
    C'est vrai que certaines fonctions complexes genre le logarithme nécessite des redéfinitions, mais disons que tout est une questions, de sujet traiter. Si tu es dans une études des fonctions holomorphes et compagnie, c'est sur qu'il faut se méfier d'hypothétique pièges.
    Mais la c'est exponentielle et faut pas hésiter à faire du calcul dessus car elle est très courante
    Quand à trouver une solution qui sort du cadre de l'énoncé je sais pas si c'est vraiment conseiller parce que la c'est bien préciser
    en utilisant l'exponentielle complexe
    . Si la question avait été du style "calculer cette intégrale" alors pourquoi pas

  27. #22
    Jo

    Re-bonjour tout le monde!
    En effet, j'ai dit une chose vraiment affreuse (bou, honte a moi!):
    Citation Envoyé par Jo
    Y'a une solution encore plus simple.
    Tu dis que sin(2x)=Im(exp(2x)).(ie que sin(2x) est la partie imaginaire de exp(2x)).
    Et d'apres les propriétées lineaires de l'integrale, tu as que
    Integrale(Im(f(x))) = Im(Integrale(f(x)))

    Ton resultat sera donc Im(Integrale(exp(-x)*exp(2x)dx)) = Im(Integrale(exp(x)dx) = Im(exp(x)) = sin(x).
    Voila.
    Voici la vraie solution:

    Tu dis que sin(2x)=Im(exp(i2x)).(ie que sin(2x) est la partie imaginaire de exp(i2x)).
    Et d'apres les propriétées lineaires de l'integrale, tu as que
    Integrale(Im(f(x))) = Im(Integrale(f(x)))

    Ton resultat sera donc
    Im(Integrale(exp(-x)*exp(i2x)dx)) =
    Im(Integrale(exp(x(-1+2i))dx) =
    Im(exp(x(-1+2i)/(-1+2i)) =
    Im(-exp(x)exp(2ix)/5 -2iexp(-x)exp(2ix)/5) =
    -exp(-x)sin(2x)/5 + exp(-x)cos(2x)/5

    Ce genre de calculs sauve parfois bien la vie car evitent un enchainement de plusieurs IPP!!
    Voila.

  28. #23
    astatehate

    Re : Aide Résolution Intégrale !!!!

    Bonsoir tout le monde, premier post mais beoin d'aide / on me demande d'integrer la fonction 1/(ln(1+t²)) dt entre les bonres x et 2x.
    Je n'arrive pas à primitiver cette fonction, changemen de variable tan et sh n'ont pas donné qqch de concluant..
    Que faire?
    Merci d'avance

  29. #24
    Ledescat

    Re : Aide Résolution Intégrale

    bonjour, je ne vais pas ouvrir un topic exprès pour celà, mais j'aimerais que vous m'indiquiez comment déterminer une primitive de (dsl de la lourdeur, je ne sais pas utiliser la commande pour les symboles...):

    x.sqrt((1-x)/(1+x))

    Je suis capable de trouver une primitive de sqrt((1-x)/(1+x)), mais le x m'embête...une IPP n'a pas l'air de faire ses preuves.Voilà!
    Merci
    Cogito ergo sum.

  30. Publicité
  31. #25
    trashultra

    Re : Aide Résolution Intégrale

    Bonjour.

    J'aimerai résoudre l'intagrale de la fonction suivante (dom d'integration : module de z+i = 2)
    (exp(z))/(z²*(z²-2z+2))

    Quelqu'un serait-il m'aider ?

    D'avance merci.

  32. #26
    trashultra

    Re : Aide Résolution Intégrale

    Je suppose devoir appliquer Cauchy, mais comment la "décomposer" en une partie réelle et une partie imaginaire?

  33. #27
    ericcc

    Re : Aide Résolution Intégrale

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    bonjour, je ne vais pas ouvrir un topic exprès pour celà, mais j'aimerais que vous m'indiquiez comment déterminer une primitive de (dsl de la lourdeur, je ne sais pas utiliser la commande pour les symboles...):

    x.sqrt((1-x)/(1+x))

    Je suis capable de trouver une primitive de sqrt((1-x)/(1+x)), mais le x m'embête...une IPP n'a pas l'air de faire ses preuves.Voilà!
    Merci
    J'avais appris que dans ces cas là, on pose u=sqrt((1-x)/(1+x)) et ça aide. Ici ça devient une fraction rationnelle en (1+u²)3 et c'est fastidieux, mais on y arrive.

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