Variance estimé

[elodie30200]

bonjour,

Mon exercice m'indique que la somme des Xi= 4000 (mg/l) pour n=25 et que la somme des xi^2= 641600 (mg/l)^2
je dois trouver la moyenne et la variance observé sur cette échantillon.
Donc j'ai calculé la moyenne qui est: 4000/25=160
Mais je n'arrive pas à calculer la variance estimé pourtant je fait comme ça: (641600-(160)^2)/ 24= 25666,66667

merci pour votre aide
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[minushabens]

la variance est E((X-E(X))^2) = E(X^2) - E(X)^2

La seconde expression te donne un moyen de calculer une estimation de la variance à partir des données du problème.

[elodie30200]

excusez moi mais je ne comprend pas ce que signifie E(X) désolé

[ansset]

E signifie l'espérance mathématique. ( c'est l'équivalent d'une moyenne pondérée )
si les probabilités des xi sont identiques , alors l'espérance revient à la moyenne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

E(X) est l'espérance mathématique, c'est la moyenne dans la population d'où sont tirées les variables aléatoires qui forment ton échantillon. La moyenne empirique est un estimateur de l'espérance, et de même la variance de la population peut être estimée par divers estimateurs dont celui que je te propose (sans l'écrire tout à fait).

[Dlzlogic]

Bonjour,
Juste un petit rajout : cette formule est valable pour un nombre d'observations tendant vers l'infini. Donc, dans la pratique, il faut multiplier le résultat par 25/(25-1).
D'où la présence justifiée du nombre 24 dans la formule d'Elodie.

[ansset]

exact: précision utile.

[PrRou_]

Bonsoir

Il s'agit d'estimer la variance de la loi suivi par une variable aléatoire ayant pris n=25 valeurs telles que et . La moyenne est , ok.


La formule Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - E(X)^2 est valable pour toute variable aléatoire X réelle (rien à voir avec un nombre d'observations !).

Cela donne le moyen d'estimer la variance avec les données du problème,
.
mais cela donne une estimation biaisée.

La formule de base à connaitre pour estimer (sans biais) la variance de la loi à partir des valeurs est
.

Quand on développe et simplifie cette formule, on obtient
.

Cela donne



<< il faut multiplier le résultat par 25/(25-1) >> : oui, mais faut-il encore savoir qui est multiplié par 25/24 exactement

[Dlzlogic]

Petite précision nécessaire.

La formule de base à connaitre pour estimer (sans biais) la variance de la loi à partir des valeurs est
v=1/(n-1) somme((xi-µ)²)

C'est la définition de la variance si µ est la moyenne arithmétique des xi. C'est à dire que les xi sont des n valeurs observées et µ la moyenne arithmétique de ces n valeurs observées.
Par contre, si µ est la valeur vraie de la moyenne, par exemple avec des tirages du type boules, dés, résultats de fermeture de triangles, alors la variance s'écrit v=1/n somme((xi-µ)²).

[Dlzlogic]

Petit complément à mon message précédent.
Imaginons que l'on souhaite tester la fiabilité d'une machine qui mesure la concentration d'un produit en solution dans l'eau.
On prendra une quantité précise d'eau pure. On y dissoudra une quantité connue du produit à étudier.
On effectuera 25 mesure de concentration, on aura donc 25 valeurs de xi. Etant donné la méthode employée on connait la valeur vraie de la concentration, appelons-la M. La valeur de la variance se calculera alors avec la formule suivante
v = 1/n Somme((xi-M)²).

[PrRou_]

Pour ne pas être "confusant" suite au contenu de ces deux derniers messages, récapitulons.

(1) la variance d"une série de valeurs x1,...,xn est définie par v = 1/n somme((xi-µ)²) où µ = (x1+...+xn)/n la moyenne de la série des xi,

(2) la variance d'une loi de probabilité est définie par V = E( (X-m)^2 ) où m = E(X) la moyenne de la loi,

(3) 1/n somme((xi-m)²) l'estimateur sans biais de la variance V de la loi de probabilité où m = E(X) la moyenne de la loi,

(4) 1/(n-1) somme((xi-µ)²) l'estimateur sans biais de la variance V de la loi de probabilité utilisant µ = (x1+...+xn)/n.