Série exponentielle complexe

[invite8d7ff8ba]

Bonjour, j'essaye de montrer que

J'ai réussis à montrer avec un développement de Taylor avec reste intégral que
et
Pour , j'ai pensé au produit de Cauchy de séries absolument convergentes, en plus est un anneau commutatif, donc on peut appliquer la formule du binôme de Newton :

Cependant, n'y aurait-il pas un autre moyen de montrer cette égalité (sans passer par le produit de Cauchy) ?

Merci par avance de vos réponses.
-----

[gg0]

Bonjour.

En général, est défini par la série que tu proposes, donc il n'y a rien à démontrer.
Je suppose donc que l'exponentielle réelle est définie autrement, avec ses propriétés classiques. mais comment définis-tu pour y réel ? La définition "basique" classique est ; celle que tu as choisie rend la situation difficile !

Cordialement.

[invite8d7ff8ba]

J'utilise la définition de l'exponentielle réelle comme bijection réciproque du logarithme naturel, et l'exponentielle imaginaire par , ainsi que le développement de Taylor (avec reste) pour les fonctions d'une partie de R dans C.
Dans mon cours (sup) , l'exponentielle complexe est définie par e^z = e^Re(z).e^iIm(z)...

[gg0]

Ok !

Ta définition de exp(iy) n'était pas claire. Comme tu veux multiplier deux séries, difficile de ne pas utiliser la multiplication (produit de Cauchy).

C'est bien pour cela qu'on fait, quand on veut tout redéfinir correctement, y compris la trigo) dans l'autre sens.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]