[Statistiques] Estimateurs

[invite50011d0d]

Bonsoir,

Je bloque sur une question de statistiques. Voici l'énoncé du problème :

Soit X₁,...,X_n un échantillon de loi : f(x,a) = exp(-x) / (1-exp(-a)) * 1_[0,a](x)
où a > 0 est inconnu

1) Déterminer â_n l'estimateur du maximum de vraisemblance de a
2) A l'aide de V_n = exp(-â_n), trouver un estimateur sans biais de exp(-a) (on le notera T_n)

Pour la première question je trouve : â_n = sup_1<=i<=n(x_i)

Pour la deuxième, j'essaie de calculer l'espérance de V_n mais je trouve des formules bien compliquées à chaque tentative...

La densité de probabilité de â_n que j'ai trouvé c'est :
f_ân(x,a) = n * ((1-exp(-x)) / (1-exp(-a)))^(n-1) * exp(-x)/(1-exp(-a)) * 1[0,a](x)

Si quelqu'un peut m'aider...
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[invite636fa06b]

Bonjour,

D'accord avec tes résultats, je ne vois pas la difficulté à calculer l'espérance de V dont la densité devient très simple : n (1-v)^(n-1) /K(a) sur 1;exp(-a) avec K(a)=(1-exp(-a))^n
et comme estimateur [Vn *(n+1)-1]/n

[invite50011d0d]

Tu as raison, ce n'était pas si terrible, je faisais une erreur bête à chaque fois (au moment de mon changement de variable).

Je trouve donc : E[V_n] = exp(-a) + (1-exp(-a))/(n+1)

Et j'en déduis le même estimateur que toi

Merci de ton aide zinia.

[invite50011d0d]

Je bloque dans la suite maintenant :

On pose : U_n = V_n^1/a. Montrer que la loi de U_n ne dépend pas de a.

J'ai calculé la loi de U_n, je trouve ceci :
f_Un(u) = (na)/(1-exp(-a))^n * (1-u^a) * u^(a-1) * 1_[exp(-1),1](u)

On ne pe pas vraiment dire que c'est indépendant de a...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

J'ai calculé la loi de U_n, je trouve ceci :
f_Un(u) = (na)/(1-exp(-a))^n * (1-u^a)^(n-1) * u^(a-1) * 1_[exp(-1),1](u)

A un petit détail (en bleu) près je suis d'accord et ne vois pas d'indépendance de a, tu es sûr de l'énoncé ?

[invite636fa06b]

Il s"agit peut-être de dire que les valeurs prises par U sont indépendantes de a

[invite50011d0d]

Que veux-tu dire par là?

[invite636fa06b]

Que veux-tu dire par là?

Tout simplement que le domaine de valeurs que peux prendre U est l'intervalle [1/e , 1] comme tu l'as toi-même écrit. Il ne dépend plus de a comme c'était le cas pour les VA précédentes.
Sinon, en ce qui concerne la densité de U, elle est fortement dépendante de a ; elle passe d'un pic vers 1/e pour des petites valeur de a à une courbe en cloche pour a de l'ordre de 3 ln(n) puis à un pic vers 1 lorsque a est grand

[invite636fa06b]

En revanche, la variable Z définie ainsi :
a des valeurs de 0 à 1 et sa densité est indépendante de a.
Logiquement, ça aurait du être le changement de variable !

[invite50011d0d]

Merci beaucoup zinia! Je crois que tu as largement raison sur ce point, je vais envoyer un mail à mon professeur pour lui en parler.

Encore merci de m'avoir consacré du temps.