Bonjour,
Je me permet de poster sur le forum parce que je ne parviens pas à répondre à une question. En effet j'ai ƒ(P)(x)=xP(x)+(x-1) ∫(de 0àx) P(t)dt , ∀P∈En l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note B(e0,e1,e2,...,en)la base canonique de En où pour tout ᵢ entier de [1;n]le polynôme eᵢ est défini par eᵢ(x)=xⁱ On définit sur En l'application T par : pour tout P de En (ƒ(P))(x)= x² (T(P))(x)
Après avoir réussi à montrer que T(e0) =1 je dois montrer qu'il existe pour tout u≥2 un couple de réel (αᵤ,βᵤ) tel que T(eᵤ)= αᵤeᵤ-₁+βᵤeᵤ.
Je me suis lancée en utilisant le fait que (ƒ(P))(x)= x² (T(P))(x) à dire que ƒ(eᵤ)=T(eᵤ).x² et ƒ(eᵤ)=ƒ(x⁽u⁾)
J'en ai déduit que ƒ(eᵤ)=xeᵤ(x)+(x-1)∫(de 0à x) eᵤ(t)dt
mais lorsque je remplace les eᵤ(x)par x⁽u⁾ et que je calcule je me retrouve avec ((u.x⁽u₊₁⁾) / (u+1)) + ((x.x⁽u+₁⁾) / (u+1)) et même en essayant de changer les x⁽u+₁⁾ en eᵤ₊₁ je suis très loin de la forme ƒ(x⁽u⁾)=x² (αx⁽u⁻¹⁾+βx⁽u⁾) forme qui me semble être celle qu'il faut atteindre pour pouvoir déterminer (αᵤ,βᵤ).
J'aimerais donc savoir si je m'y prend mal dès le départ où si je fais uniquement des erreurs de calculs (sachant que je 'ai déjà refais mais que je n'obtient jamais le résultats souhaité..) Peut être faut il partir de la forme ƒ(x⁽u⁾)=x² (αx⁽u⁻¹⁾+βx⁽u⁾) puis calculer afin de retrouver T(eᵤ) ? Je suis un peu perdue et j'ai déjà passé beaucoup de temps sur cette question mais je ne souhaite pas trop la laisser de coté premièrement pour pouvoir comprendre ce qui se joue dans le raisonnement et être capable de le refaire si je me retrouve nez à nez avec cette question et deuxièmement parce qu'elle conditionne les questions suivantes touchants à la matrice représentative de T dans la base canonique de En que je ne peux pas trouver sans avoir déterminé (αᵤ,βᵤ) (enfin il me semble).
En espérant pouvoir trouver de l'aide, et en vous remerciant par avance pour celle-ci,
à bientôt.