Ordres à parties bien ordonnées dénombrables

[invite8133ced9]

Bonjour,

Je m'intéresse à un problème peut-être indécidable dans ZFC: suivant:


Soit un ordre total dont les parties bien ordonnées sont dénombrables. se plonge-t-il nécessairement dans ?



Mes doutes quant à l'indécidabilité viennent de l'apparente ressemblance avec l'énoncé appelée hypothèse de Suslin, qui est indécidable dans ZFC:

Soit un ordre total dense infini sans extrémités dont les familles d'intervalles disjoints deux-à-deux sont dénombrables. est isomorphe à .



Les problèmes ne sont clairement pas trivialement équivalents, en particulier, la condition de famille disjointe dénombrable est strictement plus forte que la condition de parties bien ordonnées dénombrables.
Cependant mes essais ne m'ont pas mené loin, et j'aimerais savoir s'il y a des contre-exemples connus, éventuellement dans certains modèles de ZFC seulement.
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[invite8133ced9]

Correction: La condition sur est plutôt que ses parties bien ordonnées ou anti bien ordonnées sont dénombrables.

[Médiat]

B
onjour,

Ce problème n'est certainement pas trivial ; avez-vous commencé à démontrer quelques résultats ?

Il me semble qu'à partir de toute partie bien ordonnée, on peut construire une famille disjointe d'intervalles, donc le lien avec HS est clair (mais utile ??)

[invite8133ced9]

J'ai cherché dans la direction positive:

J'ai montré qu'un tel ensemble ordonné se plongeait dans , le corps des surréels de date d'anniversaire , que l'on peut plus simplement voir comme l'arbre binaire complet lexicographiquement ordonné. Bien sûr, on est encore assez loin de .

Je pensais que l'on pouvait en général se restreindre à la complétion de Dedekind de , qui est isomorphe à , mais un peu de lecture concernant l'hypothèse de Suslin m'a rendu moins optimiste. J'ai un bouquin dans lequel l'hypothèse est rapidement, mais probablement pertinemment abordée. Je vais l'étudier dans les jours qui viennent pour voir si l'on peut trancher négativement la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8133ced9]

En fait, le problème est plus simple que je ne le pensais: ordonné lexicographiquement est un contre-exemple