intervalle de pari

[invitebd98b571]

Tout d'abord, concernant cette information que l'ai lue. Le sujet a été ouvert par un prof qui assurait des classes de seconde, de première et de terminales, en tout cas deux classes dans le même lycée et, oh surprise pour ce prof, les définitions, les formules, etc n'étaient pas les mêmes pour des deux niveaux. C'est là que cette nuance entre "fluctuation" et "confiance" a été évoquée et le projet de suppression.

faudrait voir la discussion car c'est étrange de croire qu'il y a une nuance entre les deux notions : c'est bien plus qu'une nuance, c'est comme confondre x -> x² et x -> x^0.5

les formules sont les mêmes, dans les deux cas.

les formules ne concernent pas les mêmes variables.

On a un très grand nombre d'individus (dans le cas présent, pas tellement, puisqu'ils sont tous atteints d'une certaine maladie).

il peut y avoir 10000 personnes malades... 10000 est assez grand.

[QUOTE=Dlzlogic;5768853]On peut donc calculer la moyenne des résultats (dans le cas présent, la moyenne des pourcentages de malades de moins de 20 ans).[QUOTE]
la moyenne dont du parle est la fréquence observée sur l'union des deux échantillons.

On peut donc calculer l'écart-type de cette observation, et en déduire les bornes correspondant à une probabilité de 95% de ne pas se tromper dans les conclusions. Qu'on appelle "intervalle de confiance".

Non, c'est absolument faux...

*** Polémique inutile ***

Le mathématicien peut vérifier la répartition de ces valeurs par rapport à la moyenne arithmétique, si cette vérification est satisfaisante, calculer la répartition elle-même avec une unité quelconque, l'écart moyen quadratique ou l'écart moyen arithmétique, puis calculer les proportions relatives à chaque tranche ou classe de répartition. Pour se faire comprendre, il est parfois nécessaire de trouver des qualificatifs particuliers, mais cela n'apporte pas grand-chose, sauf un peu de confusion.

c'est le monde à l'envers et c'est pénible.........
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[invitebd98b571]

D'où borne supérieure = 0.882 + 0.166 = 1.048
borne inférieure = 0.082 - 0.166 = 0.716
Il est bien évident que la borne supérieure est à majorer par 1.00.

joli méli-mélo qui donne un intervalle [0.716, 1] bien trop grand, donc sans intérêt mathématique.

Si la probabilité était p=1 alors la fréquence observée ne sera pas 0.88 ...

les proportions observées étant 0.823 et 0.941, les bornes de l'intervalle de confiance seront forcément au-delà de celles-ci. Le contraire sous-entendrait que les valeurs servant au calcul seraient dans la tranche des 5%.

Ceci est mathématiquement injustifié.

Grosso-modo, si p>0.95 alors les chances d'avoir une fréquence observée de 0.823 est trop faible sur un échantillon de 68 (c'est de l'ordre de 1/8000)

[invitebd98b571]

D'abord, il faut qu'on soit sûr de l'expression "intervalle de confiance à 95%". Pour moi, cela veut dire que sur un grand nombre d'expériences, il n'y en aura que 5% qui dépasseront les bornes de l'intervalle de confiance.

cela ressemble plutôt à l'intervalle de fluctuation...

Le premier échantillon donne une proportion de moins de 20 ans = 64/68 = 0.941
Le second échanillon donne une proportion de moins de 20 ans = 56/68 = 0.823
soit une moyenne de 0.882. e1 = e2 = 0.059
L'écart type=sqrt((e1² + e2²)/(2-1)) = 0.083
L'intervalle de confiance = 95% est obtenu au niveau de 2 écart-type = 0.166
D'où borne supérieure = 0.882 + 0.166 = 1.048
borne inférieure = 0.082 - 0.166 = 0.716
Il est bien évident que la borne supérieure est à majorer par 1.00.

joli méli-mélo de calculs avec des formules qui sont d'un autre chapitre...

L'intervalle que tu obtiens [0.716 ; 1] est bien trop grand !

Déjà, l'intervalle de confiance [f - 1/sqrt(n) ; f + 1/sqrt(n) ] que l'on voit en seconde (qui lui-même est souvent trop grand) donne [0.79 ; 0.97]

Mais avec un peu de bon sens, on se demande bien comment la proba cherchée pourrait être proche de 1 ou de 0.716 vu les deux fréquences observées sur des échantillons de taille 68.

Discussion : les proportions observées étant 0.823 et 0.941, les bornes de l'intervalle de confiance seront forcément au-delà de celles-ci. Le contraire sous-entendrait que les valeurs servant au calcul seraient dans la tranche des 5%.

absolument injustifié.

prend p=0.941 et calcule les chances d'obtenir la fréquence 0.823 (ou moins) sur 68 essais : c'est de l'ordre de 1/1700 !

[invitebd98b571]

je te fais confiance pour les calculs, mais dans le second cas il s'agit d'un intervalle de pari. non ?

Comme dans les deux cas on travaille avec un échantillon, ne connaissant pas la vraie valeur de p, il s'agit toujours d'intervalles de confiance.

En effet, comme le dit gg0 :
- l'intervalle de confiance quand on ne connait pas la valeur p et que l'on veut l'encadrer grâce aux résultats des expériences passées (c'est notre cas ici) ;
- l'intervalle de fluctuation quand on connait la valeur p et que l'on veut encadrer les résultats des expériences futures.

[invitebd98b571]

Ces expressions "fluctuation', "pari", "confiance" sont probablement utiles dans un cadre scolaire, mais dans la réalité mathématique, les choses sont plus simples.

Non, bien au contraire, les choses sont subtiles !
Mais bien sûr, pour comprendre cela, il faudrait être dans un contexte "forumique" qui le permette !

[invitebd98b571]

Il ne faut pas oublier que en mathématiques, on a des valeurs, on les traite et puis c'est tout.

absurde, on voit où cela mène...

[Dlzlogic]

@ PrRou_
Si j'ai bien compris tes calculs, on a 95% de chance d'avoir une proportion de moins de 20ans comprise entre 0.83 et 0.90 (ton message #23).
Or, les deux mesures qu'on a faites (0.82 et 0.94) sont au delà de cet intervalle. Pour chacune, il n'y a que 5% de probabilité que ça arrive. Donc, on n'a pas eu de chance. Peux-tu le confirmer ?

[invitebd98b571]

Si j'ai bien compris tes calculs, on a 95% de chance d'avoir une proportion de moins de 20 ans comprise entre 0.83 et 0.90 (ton message #23).

Non, ce n'est pas ça.

L'intervalle de confiance [0.83 ; 0.90] correspond aux valeurs des probas p telles que le couple des deux fréquences observées (64/68, 56/68) soient dans une fluctuation à 95%.

deux exemples :

pour p=0.82, les 188 couples
[56, 56], [56, 57], [57, 56], [55, 56], [56, 55], [57, 57], [55, 57], [57, 55], [55, 55], [58, 56], [56, 58], [54, 56], [56, 54], [58, 57], [57, 58], [55, 58], [58, 55], [54, 57], [57, 54], [54, 55], [55, 54], [58, 58], [54, 58], [58, 54], [54, 54], [53, 56], [56, 53], [56, 59], [59, 56], [53, 57], [57, 53], [57, 59], [59, 57], [55, 53], [53, 55], [55, 59], [59, 55], [58, 53], [53, 58], [58, 59], [59, 58], [54, 53], [53, 54], [54, 59], [59, 54], [52, 56], [56, 52], [52, 57], [57, 52], [52, 55], [55, 52], [56, 60], [60, 56], [57, 60], [60, 57], [53, 53], [60, 55], [55, 60], [59, 53], [53, 59], [59, 59], [58, 52], [52, 58], [54, 52], [52, 54], [60, 58], [58, 60], [54, 60], [60, 54], [56, 51], [51, 56], [52, 53], [53, 52], [51, 57], [57, 51], [52, 59], [59, 52], [51, 55], [55, 51], [60, 53], [53, 60], [59, 60], [60, 59], [56, 61], [61, 56], [51, 58], [58, 51], [54, 51], [51, 54], [57, 61], [61, 57], [61, 55], [55, 61], [52, 52], [58, 61], [61, 58], [54, 61], [61, 54], [52, 60], [60, 52], [51, 53], [53, 51], [51, 59], [59, 51], [56, 50], [50, 56], [60, 60], [50, 57], [57, 50], [50, 55], [55, 50], [61, 53], [53, 61], [59, 61], [61, 59], [58, 50], [50, 58], [50, 54], [54, 50], [52, 51], [51, 52], [51, 60], [60, 51], [62, 56], [56, 62], [57, 62], [62, 57], [55, 62], [62, 55], [50, 53], [53, 50], [50, 59], [59, 50], [52, 61], [61, 52], [60, 61], [61, 60], [49, 56], [56, 49], [58, 62], [62, 58], [54, 62], [62, 54], [57, 49], [49, 57], [49, 55], [55, 49], [51, 51], [58, 49], [49, 58], [54, 49], [49, 54], [50, 52], [52, 50], [53, 62], [62, 53], [59, 62], [62, 59], [50, 60], [60, 50], [51, 61], [61, 51], [53, 49], [49, 53], [49, 59], [59, 49], [61, 61], [52, 62], [62, 52], [51, 50], [50, 51], [48, 56], [56, 48], [60, 62], [62, 60], [48, 57], [57, 48], [56, 63], [63, 56], [48, 55], [55, 48], [57, 63], [63, 57], [55, 63], [63, 55], [52, 49], [49, 52], [50, 61]
représentent à eux seuls 95% des couples probables pour 2 échantillons de 68 individus.
Et on "voit" que le couple [64,56] n'est pas dedans, donc 0.82 n'est pas dans l'intervalle de confiance au seuil de 95%.

En revanche, pour p=0.85, les 161 couples
[58, 58], [58, 59], [59, 58], [57, 58], [58, 57], [59, 59], [57, 59], [59, 57], [57, 57], [58, 60], [60, 58], [59, 60], [60, 59], [56, 58], [58, 56], [60, 57], [57, 60], [59, 56], [56, 59], [57, 56], [56, 57], [60, 60], [60, 56], [56, 60], [56, 56], [58, 61], [61, 58], [58, 55], [55, 58], [59, 61], [61, 59], [59, 55], [55, 59], [57, 61], [61, 57], [55, 57], [57, 55], [60, 61], [61, 60], [60, 55], [55, 60], [56, 61], [61, 56], [56, 55], [55, 56], [58, 54], [54, 58], [59, 54], [54, 59], [58, 62], [62, 58], [54, 57], [57, 54], [59, 62], [62, 59], [61, 61], [57, 62], [62, 57], [61, 55], [55, 61], [55, 55], [60, 54], [54, 60], [56, 54], [54, 56], [62, 60], [60, 62], [56, 62], [62, 56], [58, 53], [53, 58], [53, 59], [59, 53], [54, 61], [61, 54], [55, 54], [54, 55], [53, 57], [57, 53], [61, 62], [62, 61], [62, 55], [55, 62], [60, 53], [53, 60], [58, 63], [63, 58], [53, 56], [56, 53], [59, 63], [63, 59], [57, 63], [63, 57], [60, 63], [63, 60], [54, 54], [56, 63], [63, 56], [54, 62], [62, 54], [61, 53], [53, 61], [55, 53], [53, 55], [58, 52], [52, 58], [62, 62], [52, 59], [59, 52], [57, 52], [52, 57], [61, 63], [63, 61], [60, 52], [52, 60], [55, 63], [63, 55], [52, 56], [56, 52], [53, 54], [54, 53], [53, 62], [62, 53], [58, 64], [64, 58], [52, 61], [61, 52], [52, 55], [55, 52], [59, 64], [64, 59], [57, 64], [64, 57], [54, 63], [63, 54], [51, 58], [58, 51], [62, 63], [63, 62], [51, 59], [59, 51], [51, 57], [57, 51], [60, 64], [64, 60], [64, 56], [56, 64], [53, 53], [51, 60], [60, 51], [51, 56], [56, 51], [52, 54], [54, 52], [62, 52], [52, 62], [61, 64], [64, 61], [64, 55], [55, 64], [63, 53]
représentent à eux seuls 95% des couples probables pour 2 échantillons de 68 individus.
Et on "voit" que le couple [64,56] est dedans, donc 0.85 est dans l'intervalle de confiance au seuil de 95%.

[invitebd98b571]

pour compléter les exemples,

pour p=0.91, les 106 couples
[62, 62], [62, 63], [63, 62], [63, 63], [61, 62], [62, 61], [61, 63], [63, 61], [61, 61], [64, 62], [62, 64], [64, 63], [63, 64], [64, 61], [61, 64], [60, 62], [62, 60], [60, 63], [63, 60], [60, 61], [61, 60], [64, 64], [60, 64], [64, 60], [62, 65], [65, 62], [63, 65], [65, 63], [60, 60], [59, 62], [62, 59], [59, 63], [63, 59], [61, 65], [65, 61], [59, 61], [61, 59], [64, 65], [65, 64], [64, 59], [59, 64], [60, 65], [65, 60], [60, 59], [59, 60], [62, 58], [58, 62], [58, 63], [63, 58], [65, 65], [61, 58], [58, 61], [62, 66], [66, 62], [66, 63], [63, 66], [59, 65], [65, 59], [64, 58], [58, 64], [61, 66], [66, 61], [59, 59], [60, 58], [58, 60], [64, 66], [66, 64], [60, 66], [66, 60], [57, 62], [62, 57], [57, 63], [63, 57], [58, 65], [65, 58], [61, 57], [57, 61], [59, 58], [58, 59], [65, 66], [66, 65], [57, 64], [64, 57], [59, 66], [66, 59], [60, 57], [57, 60], [62, 67], [67, 62], [58, 58], [67, 63], [63, 67], [57, 65], [65, 57], [56, 62], [62, 56], [56, 63], [63, 56], [57, 59], [59, 57], [67, 61], [61, 67], [66, 58]
représentent à eux seuls 95% des couples probables pour 2 échantillons de 68 individus.
Et on "voit" que le couple [64,56] n'est pas dedans, donc 0.91 n'est pas dans l'intervalle de confiance au seuil de 95%.

Avec ces trois exemples, on conclut que l'intervalle de confiance [a ; b] cherché vérifie 0.82 < a < 0.85 < b < 0.91.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai relu l'énoncé :
"Sur l'ensemble de l'échantillon, on souhaite construire un intervalle qui contiendrait la probabilité d'avoir moins de 20 ans dans cette maladie avec une probabilité de 95%."
Il est bien précisé "sur l'ensemble de l'échantillon ...", donc les 136 personnes. En ce cas, il s'agit bien d'un intervalle de pari, et les calculs de PrRou (dénombrement des couples d'issues possibles) sont justifiés.
Par contre, je ne crois pas avoir été le seul à comprendre ou interpréter la question comme "sur l'ensemble des personnes atteintes de cette maladie ...", ce qui me semble beaucoup plus intéressant comme question, surtout dans un tel contexte de malades atteints d'une certaine maladie qui concerne les personnes jeunes de moins de 20 ans.

[Dlzlogic]

Pour le fun, j'ai fait une petite simulation. En fait, c'est un peu hors-sujet, puisque cela ne reprend pas les hypothèses de l'énoncé, à savoir deux échantillons, mais j'ai pris la moyenne obtenue, c'est à dire 882/1000. Mon seul objectif était d'avoir une idée de la dispersion attendue.
J'ai donc calculé la borne inférieur = 0.816 et la borne supérieure = 0.944.
Ce qui correspond exactement (en arrondissant dans le bon sens) au nombre de moins de 20 ans cités dans l'énoncé.
Je crois qu'on peut en conclure sans trop prendre de risques que c'est le cheminement suivi par l'auteur de l'énoncé. Par contre, conclure que les bornes sont ces valeurs obtenues, c'est à dire la réponse à l'exercice, serait une erreur puisque ces deux valeurs correspondent exactement aux bornes de l'intervalle ce confiance à 95%.
Donc, si on admet que l'énoncé demande l'intervalle de confiance sur l'ensemble de la population et non pas sur des couples d'échantillons, je confirme mon calcul (0.716 ; 1.00).

[invitebd98b571]

En ce cas, il s'agit bien d'un intervalle de pari,

non, pas un intervalle de pari (qui s'appelle au intervalle de confiance), mais on veut un intervalle de confiance ! Plusieurs personnes l'ont bien dit dans la discussion.

[invitebd98b571]

, je confirme mon calcul (0.716 ; 1.00).

Parfait pour constater le dialogue de sourd (sans s). Un élève de seconde (avec l'intervalle simpliste [f - 1/sqrt(n) , f + 1/sqrt(n)] qu'on y enseigne) fait mieux. C'est pour cela que j'écrivais en début de discussion :

Pour calculer un intervalle de fluctuation (ce qui n'est pas l'objet de l'exercice), on lit un cours de seconde (ou première). A défaut :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_fluctuation

Pour calculer un intervalle de confiance, on lit un cours de seconde (ou première). A défaut :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance

[Dlzlogic]

@ PrRou
C'est quoi f et c'est quoi n ?
Si f est la moyenne observée, alors f=0.882 OK.
Mais n, c'est le nombre d'observations, en l'occurrence 2 ?
Où intervient l'écart-type ?
C'est bien de faire des affirmations, mais si les conclusions sont que les valeurs ayant servi à définir les éléments sont hors tolérance (95%), alors il me semble qu'il y a un problème.

[Dlzlogic]

Bon, je vais essayer de reprendre le problème autrement.
1- on peut admettre comme hypothèse une moyenne de 882/1000, c'est la traduction de l'énoncé.
2- on fait une simulation d'un grand nombre d'échantillons, on trouve des bornes de l'intervalle de confiance 816/1000 et 944/1000.
3- on a observé deux échantillons avec des proportions de 823/1000 et 941/1000.
4- ces échantillons correspondent , à l'arrondi près, aux bornes de l'intervalle de confiance de l'énoncé.
5- comment imaginer que ces échantillons puissent conduire à un intervalle de confiance plus petit ?
Bien sûr c'est contestable, mais en ce cas, il faudrait inventer une autre mathématique.

[invitebd98b571]

@ PrRou
C'est quoi f et c'est quoi n ?
Si f est la moyenne observée, alors f=0.882 OK.
Mais n, c'est le nombre d'observations, en l'occurrence 2 ?

f est la fréquence observée : 0.882
n n'est pas 2, mais 136 !!!

Où intervient l'écart-type ?

l'écart-type de quoi ?

C'est bien de faire des affirmations, mais (...)

...mais il faudrait lire un cours sur le sujet.

[invitebd98b571]

Bon, je vais essayer de reprendre le problème autrement.(...)Bien sûr c'est contestable, mais en ce cas, il faudrait inventer une autre mathématique.

bien sûr que ton laïus ne tient pas, il faut simplement lire un cours de mathématique pour comprendre le sujet de la question et ce qu'est un intervalle de confiance (et comprendre la différence essentielle avec ce qu'est aussi un intervalle de fluctuation/de pari)