Nombre divisibles spéciaux

[invite636fa06b]

Salut Zinia. Tu peux réexpliquer ton approche probabiliste s'il-te-plait ? Je n'ai pas compris.

C'est assez simpliste:
Le nombre de chiffre de n, c'est log(n) (log décimal)
la valeur moyenne de la somme des chifffres, c'est S=5 log(n) en négligeant le fait que l'on pourrait être plus précis pour les premiers chiffres.
Que vaut n (modS) ?
Comme il y a S valeurs possibles, on peut penser qu'il y a une chance sur S pour que ce soit 0.
Cela suppose l'indépendance entre n et S, ce qui n'est pas absurde puisqu'on raisonne au voisinage de n.
Et donc l'écart moyen entre deux nombres de Jreeman serait alors de 5 log(n) pour n grand (dont lenombre de chiffres est importants).
Sur la statistique limitée à 400 000 ça ne marche pas, soit parce n est trop petit, soit parce qu'un nombre est plus facilement divisé par la somme de ces chiffres que par un autre nombre voisin de la somme !
Pour les sommes de sommes, le raisonnement est simplissime : les seul diviseurs possibles sont les chiffres 1 à 9 que l'on peut considérer comme équiprobables. La probabité d'un nmbre quelconque d'être divisible par 7 est 1/7 et finalement la proba d'être être un nombre J-G est (1+1/2+1/3+1/4...+1/9)/9 =0,3
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[invite7863222222222]

Que vaut n (modS) ?

Qu'entends tu par n (modS) ?

[matthias]

autre résultat il semble qu'on peut tjrs trouver deux nombres de jreeman qui se suivent, un peu comme les nombres premiers jumeaux (11;13, 17;19 ...).

Si je ne me suis pas trompé, pour tout q >= 1, et sont des nombres de jreeman

[GuYem]

Que vaut n (modS) ?

Qu'entends tu par n (modS) ?

n (mod S) c'est le reste de la division euclidienne de n par S. Donc c'est zero si et seulement si S divise n, le problème qui nous intéresse !

Zinia, ça me plait bien ta façon de voir les choses ; mais comment conclues-tu :
"
Et donc l'écart moyen entre deux nombres de Jreeman serait alors de 5 log(n) pour n grand (dont lenombre de chiffres est importants).
"

[acx01b]

salut,
ça me semble intéressant de raisonner en différentes base:

donc ma courbe c'est
la Lreemanité des nombres entre 1 et 1000, en base 2 à 255...!

en x la base où j'ai fait le calcul, et en y le nombre de nombres de Lreeman que j'ai trouvé (dans l'interval [1;1000] )

+

[GuYem]

salut,
ça me semble intéressant de raisonner en différentes base:

donc ma courbe c'est
la Lreemanité des nombres entre 1 et 1000, en base 2 à 255...!

en x la base où j'ai fait le calcul, et en y le nombre de nombres de Lreeman que j'ai trouvé (dans l'interval [1;1000] )

+

J'aime bien ta façon de voir aussi.
A vue de nez j'aurais dit que le nombre de jreemans entre 1 et x ne dépendait pas de la base dans laquelle on travaille.

D'ailleurs ça me parait encore bizarre, je m'explique :

Je suis en base 10, je prends un Jreeman : 18.

Je passe en base 7, attention ça fait drole les calculs en base 7 ... Le même Jreeman s'écrit 24, sa somme des chiffres est 6.
De plus 6*3 = 6 + 6 + 6 = 15 + 6 = 24. Donc 24 est Jreeman (base 7)


Moralité, je prends un Jreeman en base dix, je fait tout ce qu'il faut en base 7 et c'est encore un Jreeman.

Je n'ai pas réussi à trouver de Jreeman en base 10 qui ne le soit pas en base 7 ; donc ton résultat m'étonne.

[matthias]

Je n'ai pas réussi à trouver de Jreeman en base 10 qui ne le soit pas en base 7 ; donc ton résultat m'étonne.

1000 devrait marcher.

[GuYem]

C'est un bon contre exemple en effet.

1000 en base 7 c'est 2626 qui n'est pas divisible par 22 (la somme de ses chiffres).

EDIT : je ne comprends pas ce qui fait que la propriété d'être Jreeman ne se conserve pas par changement de base ...

[invite7863222222222]

GuYem

l'ecart moyen entre deux nombre de jreeman est

ecart(x) = (n_2-n_1)+(n_2-n_3)...+( n_m - n_m-1)/m

ou m est le nombre de nombre de jreeman inférieur a x.
D'ou ecart(x) = (n_m - n_1)/m ~= n_m / m = 1/p

avec p la probabilité de tomber du un nombre de jreeman soit 1/S.

matthias : excellent comment tu as fait ? En fait, je ne sais pas si il faut considérer les nombres dont la somme fait 1.

Tiens un autre truc :

Peut-être aussi que de la même manière qu'avec des nombres premiers, tout nombre pairs puissent s'écrire comme somme de nombre de jreeman (ca a l'air de marcher).

[matthias]

En fait, je ne sais pas si il faut considérer les nombres dont la somme fait 1

A mon avis si. Pour les nombres premiers on ne peut pas prendre 1 parce que sinon la décomposition en produits de facteurs premiers n'est pas unique, mais ici je ne vois pas ce qui justifierait d'enlever les 10ⁿ (ce sont les seuls dont la somme est égale à 1) et de garder les 2.10ⁿ.

[invite7863222222222]

Pour les nombres premiers on ne peut pas prendre 1 parce que sinon la décomposition en produits de facteurs premiers n'est pas unique

Pour les mêmes raisons, on sait jamais.

Je sais je reve mais je suis en très de voir si on peut décomposé un nombre en facteur de nombre de jreeman et de nombres premiers. Ca serait super surprenant mais j'essaie d'en mettre en évidence un, justement.

[invite7863222222222]

laisse tomber j'ai dit une betise encore.

[matthias]

Si je ne me suis pas trompé, pour tout q >= 1, et sont des nombres de jreeman

Ca marche pour q=0, je ne sais pourquoi je l'avais enlevé

[matthias]

Après une petite recherche, il se trouve que les nombres de jreeman avaient déjà été baptisés : Wikipedia.

[GuYem]

Ah la cruelle réalité des mathématiques, si on s'intéresse à quelque chose, d'autres gens l'ont déjà fait avant nous.

Cependant l'intuition de Jreeman n'était pas si mauvaise vu les résultats donnés par Wiki

[invite7863222222222]

Ah la cruelle réalité des mathématiques, si on s'intéresse à quelque chose, d'autres gens l'ont déjà fait avant nous.

oui c'est vrai, désolé, j'aurai du cherché. La prochaine fois que je vous soumettrez un truc je chercherez partout .
Merci en tout cas de vos réponses et de vos réflexions.

[matthias]

Ceci-dit il n'y a pas l'air d'avoir des masses de publications sur le sujet, il y a donc encore espoir de leur trouver des propriétés remarquables.
Et ça nous a déjà permis de découvrir ces nombres

[invite636fa06b]

Et ça nous a déjà permis de découvrir ces nombres

Et puis on s'est bien amusé, surtout vous d'ailleurs (j'étais charrette sur le boulot et n'ai pas pu trop participer).
Il ne reste pas moins qu'il existe une répartition bizarre de ces nombres comme l'a noté Jreeman :

Sinon pour les nombres de jreeman, j'ai remarqué en fait que ca ressemble a des fractales. J'ai tout d'abord remarqué des irrugularités aux 100 000, 200 000, 300 000... puis en changeant d'echelle des irrégularités aux 10 000, 20 000, 30 000... meme chose pour 1000, 2000, 3000... En fait ca fait des petites vaques régulières qui débute de, par exemple, 1000 jusqu'à 2000, plus de 2000 jusqu'à 3000 etc... (même chose pour 10 000 jusqu'a 20 000, 20 000 jusqu'à ...).

J'ai vu la même chose sur le graphe des "écarts moyens" (post 16).
Cette pseudo-régularité n'est pas évoquée par l'article de Wikipédia.

[nissart7831]

Publication collégiale en vue alors ?

[invite7863222222222]

Tout nombre entier semble s'écrire (vérifié jusqu'à 10E6) comme la somme de deux nombres de ... Harshad, donc lol.

[invite35452583]

Bonjour,
vous ne trouvez pas surprenant que les factorielles soient des Harshad en base 10 mais pas dans toutes (les seuls Harshad complets snt 1,2,4 et 6) cf.wiki.?
Qu'est-ce qui rend la base 10 si particulière?
J'aimerais bien savoir si ce résultat sur les factorielles est vrai pour d'autres bases et lesquelles.

Cordialement

[matthias]

J'étais en train de me poser la même question
Mais je crois que ça va attendre demain pour y réfléchir sérieusement.

[invite636fa06b]

Publication collégiale en vue alors ?

Bonjour
Je ne crois pas du moins sur le thème des fractales.
A la réflexion, ce qui est fractal, c'est la somme des chiffres et non le caractère de divisibilité.
Je pense d'ailleurs qu'il faut analyser séparément les deux points.

[matthias]

salut, j'ai fait mon programme qui compare les résultats pour les nombres entre 1 et 1000, en base 2 à 255...!

voici donc la courbe que j'ai obtenu:
en x la base où j'ai fait le calcul, et en y le nombre de Lreeman que j'ai trouvé.

[...]

Je me rends compte qu'il y a un biais dans la courbe que tu obtiens du au simple fait que la base est du même ordre de grandeur que les nombres que tu considères. Par exemple en base 255, tous les nombres de 1 à 255 sont des nombres Harshad. Cela explique peut-être en partie la remontée linéaire de ta courbe.

[matthias]

Dans ce document, il est dit qu'il a été prouvé que 432! n'est pas un nombre Harshad, ce qui est en contradiction avec l'affirmation de Wikipedia. Bizarre non ?
Quelqu'un aurait la possibilité de mettre la main sur les articles cités en référence ?

[invite3d7be5ae]

Dans ce document, il est dit qu'il a été prouvé que 432! n'est pas un nombre Harshad, ce qui est en contradiction avec l'affirmation de Wikipedia. Bizarre non ?
Quelqu'un aurait la possibilité de mettre la main sur les articles cités en référence ?

J'ai trouvé pour i=432,444,453,458,474,476,485, 489 et 498 que i! n'est pas un nb de Harshad. Je pense qu'il y a une infinité de nb comme 432.

J'ai fait une image avec les nb de Harshad en base 2 jusqu'à 100 en les comptant entre 1 et 30000.



Pole.

[matthias]

J'ai trouvé pour i=432,444,453,458,474,476,485, 489 et 498 que i! n'est pas un nb de Harshad. Je pense qu'il y a une infinité de nb comme 432.

En base 10 ?

[invite7863222222222]

question interessante : existe-il un nombre de Harshal produit que de nombre de Harshal ?

[invite3d7be5ae]

En base 10 ?

Oui.

Graphique pour les factorielles (1 à 500) et pour des bases de 2 à 20.

Graphique pour les factorielles (1 à 800) et pour des bases de 2 à 20.

question interessante : existe-il un nombre de Harshal produit que de nombre de Harshal ?

12,20,.... et tous les nb de Harshad plus petits que 100.

12=(1+2)*2*2 comme 3 et 2 sont des nb de Harshad, 12 est bien un nb de Harshad qui est un produit de nb de Harshad (3,2).

Pole.

[invite7863222222222]

Encore quelques petits trucs.

En base 10, tout nombre entier pair supérieur à 27, peut semble s'écrire comme somme de deux nombres Harshad supérieurs à 10.

Peut-être ce résultat est-il généralisable à toutes les bases.

Sinon, j'ai regardé les nombres Harshad, divisibles donc par leur somme mais dont le quotient est aussi divisible par la somme etc.... jusqu'à arriver à 1.
On peut les nommer les super-Harshad.

On appelle p l'ordre le nombre d'itérations jusqu'à arriver à 1.

Voici les remarques :

1. la courbe à une allure regulière mais les variations semblent aléatoires;
2. à chaque fois qu'on tombe sur un de ces nombres, la somme des chiffres du nombre est un Harshad aussi
3. la profondeur ne semble jamais pouvoir dépasser 4;
4. y-a-t-il une infinité de ces nombres dont la profondeur est maximale (4 en base 10) ?

J'ai mis en attachement la courbe de la densité des nombres super-Harshad par rapport aux nombres Harshad. J'ai bien pris garde de supprimer les multiples de 10 car évidemment 10 multiplié par un tel nombre satisfait aussi la condition.

Il y a aussi la courbe montrant à quels index dans les nombres Harshad apparaissent les nombres d'ordre maximal (4 en l'occurence).

Il y a 20 nombres d'ordre 4 inférieur à 10E6 :
52488;61236;69984;78732;91854;
118098;122472;157464;183708;19 6830;
236196;314928;354294;367416;41 9904;
472392;559872;629856;839808;94 4784;