f a un maximum global UNIQUE

[invite563f912c]

Soit f une fonction continue de classe C^2 sur [0,1] et telle que f'' (x) < 0.

Montrer que f a un maximum globale unique sur [0,1].


Je ne sais ps trop comment aborder le probleme.

Un maximum global est forcement un maximum local. J'ai pense a raisonner par l'absurde en supposant l'existence de deux maximums et d'aboutir a une contradiction mais je ne vois pas quels théorèmes appliquer car il y en a beaucoup et je ne sais pas comment me lancer.

Quelqu'un pourrait me donner une piste, s'il vous plait.

Merci.
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[invite23cdddab]

Si quelque soit x dans [0,1], f''(x) < 0, alors f' est une fonction strictement décroissante, donc il y a au plus une solution à l'équation f'(x) = 0

Donc deux cas :

- Soit il n'y a pas de solution à cette équation, le signe de f' est donc constant, donc f est strictement monotone => un seul maximum (soit en 0 soit en 1)

- Soit il y a une solution x0 à cette équation, et alors f'(x) > 0 sur [0,x0[ et f'(x) < 0 sur ]x0,1]. f est donc strictement croissante puis strictement décroissante => un seul maximum (en x0)

[invite9dc7b526]

Montrer que f a un maximum globale unique sur [0,1].

on peut même montrer que f a un maximum local unique.