Salut mes amies
jai eu du male a montrer lassertion suivante
pour une fonction f continue de R+ vers R
si f(0)=0 et lim a linfinie de f(x)=0 montrer que f admet un maximum globale
il me semble que cest vrai intuitivement mais jai pas pus donner une demenstration
merciii
Je commencerais par traiter le cas (facile) où f n'est jamais strictement positive. Pour l'autre cas, je vois une preuve possible, qui fait usage de la notion d'espace compact. Est-ce que tu la connais?
merci pour laide mais je connais pas cette notion
jai pense a etudier les cas f positive f negative et f change de signe mais cest troop ...
un raisonnement par l'absurde peut aider. ( sachant que f est continue ).
sinon on peut développer qcq chose sur les valeurs intermédiaires.
oui mais je narrive pas a donner un raisonnement par labsurde peut tu maider
supposons que f n'ai pas de valeur maximale.
cela suppose qu'il existe tj un point x ou f(x)>a quel que soit a.
cela est il compatible avec une continuité de f ?
une autre manière est de dire que si f est continue,
alors il ne peut exister aucun point ( à l'exception de l'inf ) ou f(x)=+/- l'inf.
merci prof
Cette propriété ne suffit pas, une fonction bornée non continue peut très bien n'avoir ni de maximum ni de minimum. Prendre par exemple sur [-1,1] la fonction f définie par f(x) = x siEnvoyé par ansset
, 0 sinon : elle n'a ni maximum ni minimum.
Non, la propriété essentielle, c'est qu'une fonction continue d'un compact à valeurs dans R atteint ses bornes. Où, de façon plus élémentaire, une fonction d'un intervalle fermé borné de R dans R atteint ses bornes. C'est le théorème des bornes.
Donc l'idée de la démo c'est :
1) si 0 est un maximum => la propriété est vraie
2) si 0 n'est pas maximum il existe un t tel que f(t) > 0. On en déduit par la définition de la limite de f qu'il existe un intervalle [0,y] tel qu'en dehors, f(x) < f(t)/2. Puis on applique le théorème des bornes à cet intervalle
Essaye de rédiger cette preuve proprement, c'est important, et cette idée de découper R en un intervalle borné et une partie ou tout se passe "bien" est relativement utile et sert dans pas mal de démo de ce genre.
ah non pas du tout. Là tu dis que f est non bornée. La question est de montrer que f a un maximum, pas qu'elle est bornée.
je ne sais quoi répondre car la fct est définie de R+ ds R, et pas sur un intervalle !
Tryss2 a donné la démonstration. Ce qu'il appelle théorème des bornes (je ne connais pas cette appellation) doit être le fait que l'image continue d'un compact est compacte.
Oui, Minushabens,
c'est le théorème qui s'énonce parfois ainsi (en secondaire) :
Si f est une fonction numérique continue sur un intervalle[a,b], alors f est bornée et atteint ses bornes : f([a,b]) est un intervalle fermé borné.
Ce théorème a été généralisé jusqu'à la forme que tu donnes.
Cordialement.
je continue à ne pas voir l'extention entre un théorème sur un intervalle [a,b] et la fonction telle qu'elle est présentée.
mais je veux bien des sources passant de l'un à l'autre.
Cdt
En topologie, on dit d'un espace séparé qu'il est compact, ou qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si, chaque fois qu'il est recouvert par des ouverts, il est recouvert par un nombre fini d'entre eux.
est ce le cas pour R+ ?
R+ n'est pas compact, mais on ne cherche pas à le présenter comme tel!
L'idée de la démo est de couper R+ en une partie compacte et une partie non bornée. La partie compacte permet de parler de maximum, et la partie non bornée est traitée à partir de la notion de limite, de manière que son image soit bornée en dessous du maximum.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
là, je suis d'accord, mais ce n'est pas ainsi que la "démo" a été présenté.
( on m'a d'ailleurs rétorqué que de parler de non borné était HS, au nom du concept de compacité justement !!!!! )
Je n'ai fait qu'un (une tentative de) résumé rapide de la démo présentée par Tryss(2), message #10
Dernière modification par Amanuensis ; 26/11/2015 à 13h37.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
et pour un complément d'information, je ne vois aucunement en quoi il est utile dans la démo !
En fait ton approche n'était pas bonne parce que tu prenais comme négation du fait que f a un maximum, le fait qu'elle est non bornée (je pense que tu faisais la confusion entre maximum et supremum).
re-
c'est quoi un "supremum" ?
et je ne le prenais pas comme négation mais comme base d'un raisonnement par l'absurde ( sachant f continue ).
et on ne m'a tj pas expliqué pourquoi couper R+ en deux , dont une partie compact.
cordialement.
f continue sur l'ensemble R+.
j'ai peut être été trop court, reste que je ne vois pas ce que font les compacts la dedans.
je pense avoir mieux saisi la remarque.
à savoir , f pourrait avoir avoir un point ou un intervalle ( dans R+ ) ou sa lim est +l'inf.
mais on peut montrer que c'est incompatible avec la continuité.
ce que j'ai dit trop vite.
Non, parce qu'elle est définie (elle a donc une valeur réelle--finie-- en tout point) et continue (et donc ses limites à droite et/ou à gauche en un point sont égales à sa valeur en ce point) sur R+
Dernière modification par Amanuensis ; 26/11/2015 à 15h07.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
j'essaye juste de comprendre pourquoi mon raisonnement était faux.
en toute humilité.
j'essaye juste de donner les éléments pertinents.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
désolé j'ai utilisé un mot anglais, je pensais qu'on disait pareil en français. En fait c'est "borne supérieure".
ton raisonnement par l'absurde est mal formulé, parce que tu dis : supposons que f n'admette pas de maximum, alors elle n'a pas de borne supérieure. Or ce n'est pas vrai en général. Une fonction peut ne pas avoir de maximum mais être quand-même bornée (dans le cas qui nous occupe elle a un maximum et donc une borne supérieure)
J'ai donné hier un exemple de fonction qui est bornée mais n'admet ni maximum ni minimum. Je l'avais définie sur [-1,1], mais on peut la prolonger en une fonction 2-periodique sur R :
Et son graphe :
FctPeriodique.png
Le fait qu'elle soit bornée n'implique donc absolument pas qu'elle atteigne un maximum
[édit : Je m'aperçois que je réponds à un ancien message d'Ansset ! je laisse au cas où ça servirait]
Ansset :
Comme la fonction tend vers 0 à l'infini, elle devient plus proche de 0 que n'importe quoi. Si elle est strictement positive pour x=x0, alors il existe un A tel que x>a impose |f(x)|<f(x0). Et sur [0,x0] elle a un maximum global. C'est là que le théorème de bornitude et atteinte des bornes sert.
C'est un exercice classique d'analyse de L1.
Cordialement
Dernière modification par gg0 ; 26/11/2015 à 17h29.
