différence Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}}, {{Ø}}

[Greffiertc]

Bonjour,

Je commence l'apprentissage de la théorie des ensembles et je bute déjà sur un des premiers exercices proposés : Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}}, {{Ø}} sont-ils différents?
J'ai compris que Ø désigne l'ensemble nulle et que {Ø} désigne une partie d'un ensemble et pas un ensemble complet.
En revanche, {Ø,{Ø}}, {{Ø}} me posent problèmes car instinctivement je dirais que {{Ø}} et {Ø} sont égaux mais ça me paraît trop simple. Quoi qu'il en soit je ne trouve pas de raisonnement allant dans un sens ou dans l'autre. De même que {Ø,{Ø}}, est-ce égal à {Ø}?
Le suppose que le double singleton implique quelque chose de différent qu'un simple singleton mais je n'arrive pas à mettre les mots dessus.
Je cherche une piste de compréhension.

Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

{Ø} désigne une partie d'un ensemble et pas un ensemble complet

Non. {Ø} désigne un ensemble, celui qui n'a qu'un seul élément, l'ensemble vide Ø.
Deux choses :
* { ... } est la notation pour désigner l'ensemble dont les éléments sont listés ({ 1, 2, a}) ou explicités à la place des ...
* une partie d'un ensemble E est un ensemble. C'est un ensemble dont les éléments sont tous dans E, un sous-ensemble de E.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Ø est l'ensemble vide, il ne contient rien,
{Ø} est le singleton ne contenant qu'un seul élément : l'ensemble vide
{Ø,{Ø}} est la paire contenant les deux ensembles précédents
{{Ø}} est le singleton ayant pour seul élément le singleton ne contenant que le vide

[gg0]

Pour {Ø,{Ø}}, il s'agit donc d'un ensemble à deux éléments qui sont Ø et {Ø}. Ø et {Ø} sont bien deux objets différents, puisque l'un n'a pas d’éléments, tandis que l'autre en a un.
En mathématiques ordinaire, un ensemble ne s'appartient pas (*) donc Ø et {Ø} ne peuvent pas être confondus.

(*) On peut développer une théorie logique avec des ensembles qui s'appartiennent, il ne semble pas que ce soit utile pour les mathématiques courantes. Et l'argument du nombre d'éléments (qui n'a plus de sens si un ensemble peut s'appartenir) me semble une bonne idée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Voici le diagramme de la relation d'appartenance (les flèches noires) :

[Greffiertc]

Merci à vous pour vos réponses, je n'avais pas compris la signification des singletons. Tout est clair grâce à vos explications.