Aide DM

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
avant tout veuillez me pardonner par avance, je n'aime pas trop demandé de l'aide aux devoirs sur les forums mais, étudiant en physique, je ne suis pas très doué pour la rigueur mathématique et j'ai pris une option math en L3, autant dire que je patauge un peu pour ce dm... bref, soyez indulgent

on considère un vecteur unitaire et la matrice M :

(avec , la matrice identité, le produit matricielle de et du vecteur transposé donc une matrice)

En premier lieux je dois démontrer que M est symétrique. Donc visuellement c'est évident puisqu'en écrivant on a :

enfin vous avez l'idée, et la commutativité du produit nous donne bien , sinon j'avais pensé a considérer comme la matrice d'un endomorphisme et on trouve de manière assez évidente que (par la symétrie du produit scalaire usuel).
Mais pas convaincu j'aurais aimé d'autres méthodes, par exemple montrer que M est orthogonalement diagonalisable, si quelqu'un pouvait me montrer comment faire ?
Je vous remercie par avance du temps que vous m'accorderez !
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux transposer M en appliquant les propriétés de la transposition.
Pas besoin d'aller chercher des choses compliquées.

Cordialement.

[theophrastusbombastus]

Donc écrire :

C'est aussi evident vu comme ca, c'est juste qu'en nous donnant ce dm le prof a fait un léger briefing en disant pour cette question "Bon, là y suffit de montrer que c'est orthogonalement diagonalisable"
d'où mon interrogation...

[gg0]

Il s'est moqué de vous ?

Tu verras bien sa correction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[theophrastusbombastus]

Soit, je vais laisser ca alors.
Du coup ca m’amène a la deuxième question "A quelle matrice diagonal M est elle semblable ?". Dans mon cours on a beaucoup parlé de la diagonalisation des matrices symétriques, donc OK la matrice diagonale semblable sera réelle, celle de changement de base sera orthogonal etc... Mais il y a surement un peu plus a dire ?

[theophrastusbombastus]

(Re) Bonsoir,
du coup question précédente c’était tout bête en fait... Il me reste une question, mais j'ai du mal à la démarrer, toujours avec la matrice H, pour k=-2 elle est orthogonale, soit v un vecteur, non colinéaire au vecteur comment démontrer qu'il existe un vecteur u unitaire tel que . Merci par avance pour votre aide !

(Prière de ne pas me tenir rigueur du manque de rigueur... en espérant que tout le monde devine que nous sommes dans et que les vecteurs sont arrangés tel que la multiplication matricielle soit possible)

[theophrastusbombastus]

Re bonjour,
promis dernier message après je ne vous embête plus, s'il était possible de me "corriger" :

Soit on cherche a démontrer qu'il existe tel que et que pour tout non colinéaire à on ait la relation

En premier lieu on à démontrer que "est" une isometrie donc

Ensuite on se rend compte que , on crée une base orthonormé où il est possible de décomposer tel que (j'ai un doute sur la justification d'un coup)

En cherchant a remplir la condition on trouve

D'un autre coté ce qui se réécrit il reste a identifier les coefficients sur et donc :

dans la 1er ligne on reconnait presque la condition précédente, en injectant celle ci on trouve la condition que la deuxième ligne de notre systeme impose en

en reprenant cette condition dans on trouve si on le vois comme polynome en le discriminant donne puisque ce dernier est toujours positif l’équation a deux solutions donc on a donc la décomposition existe et satisfait les conditions. Donc unitaire tel que existe.