Prouver que l'intersection des An est connectée

[invite1f47911c]

Bonjour,

je cherche à prouverque l'intersection des An est connecté sachant que :
{An} est une suite infinie de sous ensemble compact connectée de X tel que An+1 est inclu ou égal dans An.

Je sais que un sous ensemble E de X est connect si il n'a pas de séparation (sachant que (U,V) couple d'ensemble ouverts dans X est séparé dans X si X= l'union de U et V où U et V sont différents d l'ensemble vide et l'intersection de U et V est l'ensemble vide.

J'avoue que je ne sais pas du tout par où commencer.

Est ce que vous pourriez m'aider svp ?
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[gg0]

Attention, c'est "connexe", pas "connecté".

Tu peux procéder par contraposition : Supposer que l'intersection est non connexe, qu'elle peut s'écrire comme réunion de deux ouverts non vides disjoints (*). Puis en déduire qu'il y a des An non connexes.

Cordialement.

(*) étudierais-tu dans une autre langue que le français ? ton utilisation du vocabulaire est parfois bizarre.

[invite1f47911c]

Merci, oui j'étudie en anglais et je ne trouvais effectivement pas la notion dans les cours en français. Désolé pour le vocabulaire!

Je pense avoir trouver la démonstration mais je m'inquiète de ne pas utiliser le fait que An+1 est inclu dans An .. Est ce que ma preuve est juste ?

Je suppose que l'intersection des An est non connexe et que An= B U C où B et C sont non vides et disjoints.
Soit x dans l'intersection des An. Sans perte de généralité, je suppose que x est dans B.
Je prend un y dans C
Alors il existe un D de l'intersection de An tel que y est dans D et x est dans D puisque B et C sont disjoints.
Finalement, on a que l'intersection de B et V est non vide, et que l'intersection de C et D est non vide.
Ce qui contredit l'hypothèse que B et C sont disjoints.
Donc l'intersection des An est connexe.


Merci pour votre aide !

[invite23cdddab]

Ce raisonnement n'est pas correct.

Le fait que A(n+1) soit inclus dans A(n) est essentiel : dans R², prend A(0) le cercle de centre 0 et de rayon 2, et pour n>0, A(n) le cercle de centre (0.5,1) et de rayon 1. Tout les A(n) sont des compacts connexes, mais leur intersection ne l'est pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas bien ce que tu racontes.
D'abord sans doute un oubli : "Je suppose que l'intersection des An est non connexe et que An= B U C où B et C sont non vides et disjoints. " Tu voulais sans doute dire "Je suppose que l'intersection des An est non connexe et que l'intersection des An= B U C où B et C sont non vides et disjoints. "
Ensuite, comme B et C sont non vides, rien ne t'empêche de prendre directement un x dans B et un y dans C, et ils sont différents puisque B et C sont disjoints.
la suite n'a pas de sens : C'est quoi ce D ??? et il n'y a pas de problème à ce que x et y soient dans une partie D, puisqu'ils sont tous deux dans D= B U C.
Ensuite il y a un V, peut-être est-ce D ? Mais il n'y a pas de contradiction à la fin : "on a que l'intersection de B et D (?) est non vide, et que l'intersection de C et D est non vide.
Ce qui contredit l'hypothèse que B et C sont disjoints. " ??? Avec B et C disjoints non vide et D =B U C, "on a que l'intersection de B et V est non vide, et que l'intersection de C et D est non vide."

Une remarque plus générale : Dans ta preuve, en plus de l'inclusion qui ne sert pas, tu n'utilises nulle part que les An sont connexes; ni qu'ils sont compacts. Ce serait étonnant que ces hypothèses soient là pour rien. Surtout la connexité, car avec W et V deux ouverts non vides disjoints et An= W U V, les hypothèses sont vérifiée, et l'intersection est W U V, non connexe.

Il va falloir ne pas te contenter de vague baratin, mais chercher une vraie preuve, appuyée sur des propriétés mathématiques, pas sur la conviction que l'énoncé est juste.

Cordialement.

[invite23cdddab]

Le caractère compact est aussi nécessaire. Prendre par exemple (toujours dans R²)

Pour le cas fermé mais pas compact :



Ils sont inclus les uns dans les autres, mais leur intersection est non connexe


Et pour le cas borné mais non fermé :






Au passage, ta question c'est dans un espace topologique quelconque, ou bien un espace métrique?

[invite1f47911c]

Je ne comprends pas comment l'Union de deux ensembles (An= W U V) qui est connexe peut engendrer deux sous ensembles ( W et U) qui sont disjoints. Ils se touchent forcément pour qu'il n'y ait pas de séparation dans An non ?

[invite1f47911c]

Ma question est dans un espace métrique

[gg0]

Moi je ne comprends pas ta question !

" l'Union de deux ensembles (An= W U V) qui est connexe " C'est l'union qui est connexe ?

"Ils se touchent forcément pour qu'il n'y ait pas de séparation dans An non ? " ??? prends An=[0;2], W=[0;1], V=]1;2].
Tu confonds proximité et éléments communs.
Mais tout ça n'a rien à voir avec la connexité. Tu devrais apprendre vraiment ce que c'est.

Et le problème n'est pas An, on sait que pour tout entier n, An est connexe. Mais l'intersection de tous les An, qui n'est pas à priori un An. Pour l'instant, tu n'en parles pas !! Pour t'aider :
Quelle est l'intersection des An dans les cas suivants :



Cordialement.

[gg0]

Bonjour aux modérateurs.

Vous est-il possible de modifier le titre pour mettre "connexe" ?

Cordialement.

[invite1f47911c]

L'intersection des An dans ce cas est : {1 + (1/n)} ?


On suppose que l'intersection des An est non connexe, c'est à dire qu'il existe une séparation dans intersection des An.
Et soit W et V des ouverts disjoints tel que L'intersection des An= V U W (lire V union W)
Comme An+1 est dans An et que V et W sont disjoints, les An sont soit dans V, soit dans W.
Mais alors dans ce cas, l'intersection des An est dans V ou dans W...

Je suppose que les An sont dans des ensembles différents V et W mais je ne comprends pas pourquoi.

[invite23cdddab]

C'est toujours du grand n'importe quoi...

[invite1f47911c]

On suppose que l'intersection des An est non connexe
Et soit W et V des ouverts disjoints tel que L'intersection des An= V U W (lire V union W)
Comme An+1 est dans An et que V et W sont disjoints, les An sont soit dans V, soit dans W.

Comme l'intersection des An est égal au terme n de la suite An, donc celui ci est dans soit V, soit W. Disons qu'il est dans V, dans ce cas, W est vide. Donc ca contredit la supposition que An est non connexe (séparé par (U,V) couple d'ensemble ouverts dans X, tel que X= l'union de U et V où U et V sont différents de l'ensemble vide)


Ca ne m'aide pas de me dire que je dis n'importe quoi. Je n'ai certainement pas le même nombre d'années de mathématiques. Les raisonnements ne sont pas encore évidents pour moi

[invite23cdddab]

Déjà un ouvert de l'intersection des An n'est pas, en général, un ouvert de An

Ensuite, si l'intersection des An = V U W, alors, toujours en général, V U W n'est pas une partition de An

[invite1f47911c]

"si l'intersection des An = V U W, alors, toujours en général, V U W n'est pas une partition de An", oui je suis d'accord. C'est pour ça que je dis que les An doivent être soient dans V, soient dans W (d'autant que An est connexes). Mais je vois que je ne m'exprime pas de façon suffisemment claire.

[invite23cdddab]

Bah non: V U W est (toujours en général) plus petit que An...

[invite1f47911c]

Mais il plus petit ou égal à A_n ?
L'intersection des A_n avec A_n+1 inclut dans A_n est le terme n de A_n, pas vrai?
Donc An (le terme) est égal à V U W ?
(Si vous me dites que c'est faux je n'insisterai pas de ce côté là, je pense que je ne comprend vraiment pas l'ensemble cherche )

[gg0]

Messages #9 (premier cas) et #11 :
"L'intersection des An dans ce cas est : {1 + (1/n)} ? " Non !
Tu aurais simplement fait un dessin...
Et l'intersection des An est V U W avec par exemple V=[-1,0[ et W=[0,1]. Cependant, cette intersection est connexe. Bien entendu, je n'ai pas pris U et V ouverts non vide disjoints, mais toi non plus au #3. Cependant, V est bien un ouvert de l'intersection des An.

Pour le deuxième cas, il y a évidemment une erreur (due à un copier/coller, c'est -1 à la place de -11).

[invite23cdddab]

Si tu as



Alors

Est-ce que tu penses qu'il existe un pour lequel ?

[gg0]

On suppose que l'intersection des An est non connexe
Et soit W et V des ouverts disjoints tel que L'intersection des An= V U W (lire V union W)

W et V sont des ouverts de I, l'intersection des An.

Comme An+1 est dans An et que V et W sont disjoints, les An sont soit dans V, soit dans W.

Aucune raison !! Quelle règle ou théorème appliques-tu ? D'ailleurs, An n'est à priori pas contenu dans l'intersection des An

Comme l'intersection des An est égal au terme n de la suite An,

Il y a une infinité de An, leur intersection n'a aucune raison d'être l'un d'entre eux. Pire, comme n n'est qu'une lettre, la phrase "l'intersection des An est égale au terme n de la suite An" n'a pas de sens puisqu'il n'y a pas de valeur pour n. Ce que tu écris doit avoir un sens !

Ca ne m'aide pas de me dire que je dis n'importe quoi. Je n'ai certainement pas le même nombre d'années de mathématiques. Les raisonnements ne sont pas encore évidents pour moi

Oui, mais tu sais, vu ce que tu fais comme études, que faire des maths c'est appliquer les définitions, les règles, les théorèmes (*). Or ce n'est pas ce que tu fais, tu alignes des mots, mais ça n'a rien à voir avec l'énoncé, à partir de la troisième ligne.

J'en suis à me demander si tu comprends bien la question, si tu comprends ce qu'est l'intersection des An, et le rapport avec A2, A2, A23145. Cet exercice est délicat, donc en général on ne l'aborde pas sans de vraies connaissances sur les notions ensemblistes et les bases de topologie.

Cordialement.


(*) enfin ... tu devrais le savoir, si tu ne le sais pas, tu es comme Beethoven, "tellement sourd qu'il croyait qu'il faisait de la peinture"

[gg0]

Ensuite, si l'intersection des An = V U W, alors, toujours en général, V U W n'est pas une partition de An

Tryss, pourquoi dis-tu ça ? C'est justement l'hypothèse qui est faite : l'intersection n'est pas connexe; pour une preuve par l'absurde.
Clairehd a déjà du mal à comprendre de quoi il s'agit, n'est même pas capable de trouver l'intersection des An dans un cas simple (mon message #9), confond l'intersection avec un An (peut-être parce que l'intersection des Ai pour i inférieur ou égal à n est An, mais ce n'est pas une intersection finie).

Cordialement.

[invite1f47911c]

Avec l'erratum, je trouve que l'intersection des An dans l'exemple donné est [-1 -1/n, -1 +1/n].

Je pense que je comprends là où je ne comprends pas " An n'est à priori pas contenu dans l'intersection des An". Sauf que dans les dessins que je fais (oui je sais un dessin de reflète pas la vérité mais ça aide un peu)
An+1 est inclut dans An. Donc dans mon esprit, l'aire de l'intersection des An diminue à chaque fois que n augmente (et ce jusqu'a l'infini).
Du coup l'intersection des An devrait contenir An pour un n fixé. Ce An est connexe donc par définition, il n'existe par de coule (V, W) tel que (An inter V, An inter W) where V inter W est l'ensemble vide. J'en reviens à conclure que An est soit dans V, soit dans W. Donc l'union de V et W n'est pas vide. Ce qui m'amène à une absurdité avec l'hypothèse que l'intersection des An est connexe.

Je me suis effectivement trompée dans le choix de niveau de cours. Je suis un cours de 2ans supérieur au mien. J'ai donc effectivement quelques lacunes en démonstration mais que j'espère réussir à combler un jour si je ne me décourage pas.

[gg0]

Décidément, tu n'as pas compris cette question d'intersection. Il y a une infinité de A_i, pour i variant de 0 (ou 1) jusqu'à l'infini. Et i est seulement un indice, donc une lettre qui n'a pas de valeur, une simple lettre. C'est bien pour cela que j'ai pu écrire A_i et non A_n comme dans ton énoncé, puisque le n de ton énoncé est une simple lettre pour dire "indice", donc que son nom n'a pas d'importance. Pour la clarté de ta preuve, posons
donc
Il n'y a pas de lettre n dans cette définition de I. Le n n'a servi que pour écrire, I ne dépend pas de la lettre n.

Si, comme dans mon exemple, , I est l'intersection de A₁ avec A₂, avec A₃, avec A₄, ... avec A_12587548, .... jusqu'à l'infini. Et toi tu dis [-1 -1/n, -1 +1/n] !! D'où sort ce n ? Et d'ailleurs, combien vaut-il ? Que tu ne te rendes pas compte que ta réponse n'a pas de sens laisse mal augurer de ta capacité à faire ce genre de mathématiques : Tu écris, tu ne penses pas !

Inutile de perdre ton temps avec le reste de la preuve, tu répètes toujours les mêmes phrases non justifiées dont une énorme erreur : "Du coup l'intersection des An devrait contenir An pour un n fixé."(*) Dans mon exemple, I ne contient aucun des A_n.

Désolé !

(*) serais-tu en train d'imiter une correction d'exercice sur une suite décroissante d'entiers naturels ??