Bonjour
Je cherche a savoir combien il existe de k-uplets d’éléments non adjacents d'une suite.
Exemple pour k=2 et n=4 : les couples d’éléments non adjacents de
En cherchant sur internet j'ai trouvé la formule
Merci d'avance
Bonjour
En partant effectivement de ta formule supposée vraie pour k quelconque et n=1, n=2, on trouve qu'elle reste vraie pour n+1. En effet, si C{n,k} est le nombre de k-uplets non adjacents dans un ensemble de n elts, alors pour n+1 elts, le nombre des k-uplets est la somme de deux termes:
- C{n,k} donc le nombre de k-uplets dans l'ensemble des n premiers elts a_1... a_n
- C{n-1, k-1}: le nombre de k-uplets de k-1 elts dans l'ensemble des n-1 premiers elts a_1...a-{n-1}. A chaque (k-1)-uplet de cet ensemble, en ajoutant a_{n+1} on forme un k uplet non adjacent.
Or on sait que C{n+1, k}= C{n, k} + C{n-1, k-1}. Donc cqfd.
Maintenant il faut prouver ce que l'on a supposé, à savoir que C{2,k}=le nombre de k-uplets dans l'ensemble de 2 elts, de même pour C{1,k}. Ce qui est facile.
Bonne journée
