Bonjour,
Voici mon problème:
Soit T Rn [X] -----> Rn [X]
P |-----> (X²-1)P" +2XP' -n(n+1)P
Il est admis que Ker T est une droite vectorielle et on note P dans Rn [X] tel que ker T = vect(P)
Il m'est alors demandé de montrer que P(-X)=(-1)n*P(X)
Lorsque P=0 l'egalité est evidente cependant lorsque d°P=n ( le degré de P ne pouvant etre que -infini ou n) je ne vois pas,
j'ai tenté d'exprimer l'image de P(-X) mais ca ne me mene a rien.
Auriez vous une piste svp
Merci
bjr, on a (X²-1)P"(x) +2XP'(x) -n(n+1)P(x)=0, forall x
Posons Q(x)=P(-x); Q'(x)=-P'(-x) et Q''(x)=P''(-x).
On remplace Q ds l'equa. dif. et on voit que
Q est aussi solution. Comme le noyau est de dim 1 alors Q et P sont proportionnels
Donc Q=w*P reste à trouver w.
On devrait trouver en essayant des valeurs particulières t.q x=0 ou x=1
Déjà si P(0)\neq 0 Q(0)=P(0) dc w=1 et si P'(0)\neq 0 on a w=-1 mais il faut aller + loin
Merci de votre réponse,
J'avais déjà esquissé un raisonnement identique et je bloquais justement la,
"il faut aller plus loin", oui mais en continuant avec des évaluations ou bien faut il invoquer une coincidence en n+1 points de 2 polynomes de degrés n ?
Je vois bien qu'avec des evaluations il apparait des 1 et des -1 cependant je ne vois pas comment faire apparaitre la puissance.
Merci
Donc il faut continuer simplement le raisonnement: On a Q(0)=w*P(0)=P(0) et Q'(0)=w*P'(0)=-P'(0).
Dc on ne peut avoir à la fois P(0) et P'(0) non nuls.
Peut-on avoir P(0)=P'(0)=0?
Non car P \neq 0 et en vertu du th de Cauchy Lipschitz appliqué au point x=0.
On a donc P(0)=0 et alors w=-1 ou P'(0)=0 et w=1.
Finalement P est pair ou impair. Mais cela ne répond pas entièrement à la question. C'est à dire que il reste àvoir que w=1 qd n est pair
et w=-1 qd n est impair.
Je ne vois ici qu' une solution un peu calculatoire. D'ailleurs avec cette solution on pourrait voir que le noyau est de dim 1 (alors que c'est admis). C'est à dire que je pense que l'on peut finir sans ces calculs.
Pour la solution calculatoire voici
On pose p(x)=sum_j^n a_j x^j. On remplace ds l'équation et on voit que cela donne
des relations de la forme a_(j)= h_j a_(j+2), j=0,...,n-1.
Mais a_{n+1}=0 donc tous les termes de même parité que n+1 sont nuls.
C'est à dire si n est pair a_1=a_3=...=0 i.e w=1
et si n est impair a_0=a_2=...i.e et w_=-1.
On a dc fini (modulo ) une rédaction correcte.
Voici ce que j'ai fais de mon côté avec des arguments mon compliqués (je ne connais pas le théorème de Cauchy)
On montre que Q est dans kerT
Ainsi Q=wP
Ainsi forcément w=-1 ou 1 suivant la parité de n, (pour mieux l'expliquer j'utilise les expressions développées de Q
D'où le -1^n
Est-ce faux ? Je ne vois pas d'erreur de raisonnement
Merci
Que l'on ait Q=wP on est d'accord. Que w=+ ou -1 aussi. Mais avoir le signe de w est donné par la parité je le trouve en remplaçant p
ds l'équadif et je fais donc des calculs que j'ai un peu explicité(pas très compliqué mais qd m^me) .
Tu me dis la même chose que moi mais tu n'expliques pas "pour mieux l'expliquer j'utilise les expressions développées de Q
D'où le -1^n " Si tu n'explicites pas les calculs, comment puis-je deviner si c'est correct?
avec votre technique, je trouve, en exprimant P(x) sous forme de somme et en injectant dans l'equation differentielle une somme de 0 a n-2 et non n-1,
de plus je trouve que aj+2 = j/(j+2) * aj pour j dans 0 n-2 donc pour j=0 a2=0 ect et donc le polynome est forcement impair.
Je ne comprends pas comment on peut avoir du aj+2 avec une somme allant jusqu'a n-1
Merci
Non p à la parité de n. C'est d'ailleurs pour cela que l'on trouve le résultat.
Maintenant vous faites un erreur ds les calculs mais tant que c n'est pas écrit je ne peux pas deviner.
(X²-1)\sum_{2}^{n}a_j*j(j-1)*X^j^-^2 +2X \sum_{1}^{n}a_j*j*X^(j-1) -n(n+1)\sum_{0}^{n}a_jX^j=0
donc
\sum_{0}^{n}a_j*j(j-1)*X^j -\sum_{0}^{n}a_j_+_2*j(j-1)*X^j^+^2 + 2 \sum_{0}^{n}a_j*j*X^j -n(n+1)\sum_{0}^{n}a_jX^j=0
donc
\sum_{0}^{n}a_j*j(j-1)*X^j -\sum_{0}^{n-2}a_j_+_2*j(j-1)*X^j + 2 \sum_{0}^{n}a_j*j*X^j -n(n+1)\sum_{0}^{n}a_jX^j=0
enfin
\sum_{0}^{n-2}(j(j-1)+2j-n(n+1))a_j-(j(j-1))a_j_+_2 =0
Ou est la faille ? Merci
La faille est ds le coefficient de a_{j+2} où le facteur est -(j+2)(j+1)
certes mais la somme est toujours de 0 a n-2 et non n-1 non ?
Non, j'ai raison. Pour t'en convaincre fait une petit calcul à la main avec une petite valeur de n. Tu verras que tu as oublié un terme qui traine tout seul
et qui justement donne la parité de p car ce
terme est de la forme xx a_{n-1} +yy a(n+1) (il a la même forme que les autres j'ai simplement supposé a_{n+1}=0 pour avoir un calcul
unique)
Ceci étant dit ce calcul montre que dimKer(T)=1. Alors qu'ici nous le faisons uniquement pour avoir le signe de w. C'est pour cela que je me demande si on pouvait éviter le calcul. Malgré tout il n'est pas inutile de savoir faire cela.
je vois, je vais essayer de trouver mon erreur,
quoi qu'il en soit merci beaucoup de m'avoir accordé du temps, c'est vraiment gentils
Merci
