Expression d'un endormorphisme à la puissance k

[invitebee870e5]

Bonjour à tous !
J'ai un DM à faire et je bloque à une question...
On considère u comme un endomorphisme diagonalisable de E avec E étant égal à la somme direct de tout les sous espaces propres de u.
On nous a préalablement demandé d'écrire la matrice de u dans une base adaptée B' grâce aux matrices unités Imi (avec mi la multiplicité de la valeur propre Lambda(i)) ainsi que la matrice dans cette même base du projecteur pi associé au sous espace propre Elambda(i). J'ai donc ensuite pu écrire la matrice de u^k.
Le problème est qu'on me demande d'exprimer u^k en fonction de k, des q valeurs propres, et des q projecteurs. Donc, a priori, pas sous une forme matricielle.
Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance
PS : Desolé pour les notations, c'est mon premier poste ici et j'écris ce message avec mon portable..
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[invite9dc7b526]

Le truc c'est que le produit de deux projecteurs sur des espaces propres différents est nul, et qu'un projecteur est égal à ses puissances positives (il est idempotent).

[invitebee870e5]

Je pensais à :
u^k = Somme des i allant de 1 à q des Lambda_i^k p_i