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Jeu de hasard martingale et espérance



  1. #1
    nash06

    Jeu de hasard martingale et espérance

    Bonjour à tous,
    Alors que je laissais mon esprit divaguer, il me semble avoir remarqué un fait très étonnant. Tellement étonnant, que je me dis que je me suis trompé quelque part, mais pour l'instant je ne vois pas où :



    Considérons un jeu de hasard où à chaque coup, il y a deux issues possibles : réussite ou échec. En cas de réussite, le joueur gagne 2 fois sa mise. En cas d'échec, il ne gagne rien.

    Considérons également que la probabilité de réussite soit strictement inférieure à 0,5. (On prendra 0,45 pour l'exemple).

    Un joueur joue avec la stratégie suivante :

    Il mise 1 euro. S'il gagne, il est content et s'en va. S'il perd, il rejoue en misant 3 euros. Tant qu'il perd, ils rejoue en misant 3 fois la valeur de sa mise précédente.

    Première remarque : s'il gagne du premier coup, il gagne 2 euros pour une mise de 1, donc il fait un bénéfice de 1 euro. S'il gagne du deuxième coup, il gagne 3*2=6 euros pour une mise totale de 1+3=4 euros, donc il fait un bénéfice de 2 euros. S'il gagne au 3e coup, de même, son bénéfice sera de 5 euros. En réfléchissant un peu, il est évident que cette suite de bénéfice est croissante (et a fortiori ne devient jamais négative) : donc, quel que soit le stade où il réussit enfin à gagner, il fera un bénéfice.

    Et donc, à condition qu'il puisse jouer indéfiniment, il est sûr de gagner à ce jeu.

    Mais maintenant, considérons qu'il n'ait pas une quantité d'argent infinie à jouer.
    Supposons tout d'abord qu'il n'ait qu'un euro.

    Alors, son espérance de gain se calcule comme :
    (probabilité de gagner * gain en cas de réussite) - mise, ce qui fait :
    0,45*2-1=-0,1.

    L'espérance est donc négative. On note E(1)=-0,1 l'espérance de gain pour un joueur qui a la possibilité de jouer un seul coup.

    Supposons qu'il ait en fait 4 euros. Il peut jouer deux fois.
    Comme il ne rejoue que s'il a perdu la première partie, il y a 3 cas de figures :
    * Il joue et gagne. (bénéfice =1)
    * Il joue et perd, puis rejoue et gagne. (bénéfice = 2)
    * Il joue et perd, puis rejoue et reperd. (perte = 4)

    La probabilité de la première issue est 0,45.
    Celle de la deuxième issue est 0,55*0,45 (probabilité de perdre la première multipliée par proba de gagner la deuxième)
    Celle de la troisième issue est 0,55*0,55.

    L'espérance est donc E(2)=1*0,45+2*0,55*0,55-4*0,55*0,55=-0,32

    Et ainsi de suite... en fait, quand on regarde ce qui se passe, l'espérance est toujours négative et ne fait que décroître. Autrement dit, plus le joueur a d'argent à jouer, plus il va avoir de perte en moyenne.

    C'est hyper troublant, parce que comme on l'a vu plus haut E(infini) est positif (et même infini, en fait, puisque le joueur peut décider de jouer une infinité de parties, chaque partie s'arrêtant quand il a enfin fait un bénéfice), alors que pour tout entier n, E(n) est négatif, et pire, E(n) décroît quand n croît. (Et, à première vue, il me semble que E(n) tend vers -infini.)

    Alors, il y a une erreur dans mon raisonnement ou pas ? Et sinon, par quel miracle cela est-il possible que plus on est d'argent plus on perd mais que si on n'ait pas de limite, on soit gagnant ?


    Merci d'avance pour vos réponses.

    -----


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  3. #2
    anthony_unac

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    Bonjour,
    ça sent la roulette à plein nez
    Cordialement Anthony CANU

  4. #3
    Dlzlogic

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    Bonjour,
    Je pense qu'il y a deux explications possibles.
    1- l'infini n'existe pas, dont tout raisonnement utilisant l'infini comme s'il existait est faux.
    2- il n'est pas possible que le joueur perde très longtemps (inégalité de Bienaymé). Donc au moment où il gagne, le bilan sera négatif.

  5. #4
    Médiat

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    Bonjour nah06

    Vous assumez que l'espérance de la limite est égale à la limite de l'espérance, alors qu'il n'y a aucune raison.

    Dans la pratique, non seulement vous n'avez pas une somme infinie à disposition, mais les casinos limitent les mises.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    minushabens

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    Ce qu'il faut voir c'est que le cas infini est à part. Quand le capital est limité le jeu a deux façons de s'arrêter: soit on gagne soit on est ruiné. Si le capital est infini il n'y a qu'une porte de sortie: on gagne. Le cas infini ne peut être vu comme limite du cas fini.

    edit: j'ai donné un argument heuristique mais bien sûr on peut le formaliser.
    Dernière modification par minushabens ; 04/03/2017 à 15h25.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    nash06

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    Vous assumez que l'espérance de la limite est égale à la limite de l'espérance, alors qu'il n'y a aucune raison.

    Dans la pratique, non seulement vous n'avez pas une somme infinie à disposition, mais les casinos limitent les mises.
    Bonjour,

    Concernant la deuxième remarque, de façon délibérée, je ne souhaitais pas me placer dans la deuxième situation : donc pas de limite autre que le porte-monnaie du joueur (je sais que ce n'est pas le cas dans les casinos, mais peu importe, on a qu'à considérer un casino imaginaire qui ne limite pas les mises (on a qu'à dire pour ça que le casino est aussi une banque centrale, et a la capacité d'imprimer tous les billets dont il a besoin au cas où...)).

    Sinon, je ne m'attendais pas forcément à ce que l'espérance de la limite soit égale à la limite de l'espérance, mais ça me trouble que dans un cas on soit à -inf et l'autre à >0 (voire +inf).

    Disons que durant mes études (je n'ai fait que 2 ans de maths postbac), quand j'ai vu une limite de somme et une somme de limite qui ne coïncidaient pas, c'était souvent parce que l'une des deux n'existait pas, mais ça n'était jamais aussi bizarre que : l'une est négative, et l'autre positive.

    Bon, mais apparemment, ça n'a pas l'air si rare que ça avec les infinis. Donc, en gros, y'a une pas de quoi me perturber que l'une soit négative et l'autre positive ?

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  10. #7
    gg0

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    A priori, non, il ne faut pas être perturbé : Le cas jeu infini n'est pas une prolongation du jeu fini, puisque dans le jeu "infini" il y a le dernier coup gagnant (*). Alors que dans le jeu "fini", il y a un dernier coup perdant, et on perd beaucoup.
    Le jeu "infini" n'est pas la limite du jeu "fini", au sens habituel de la notion de limite. Il est un cas particulier de l'ensemble des jeux "finis".

    Cordialement

    (*) on joue, avec probabilité 1, un nombre fini de coups.

  11. #8
    nash06

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    D'accord, merci beaucoup pour vos réponses.

  12. #9
    Tryss2

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    D'ailleurs, avec des fonds infinis, tant qu'on a une probabilité constante p > 0 de gagner, alors cette stratégie fonctionne. La différence, c'est qu'il faut miser 1/p fois plus à chaque fois.

  13. #10
    Dlzlogic

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    @ Tryss,
    Ta réflexion est intéressante, mais si le joueur gagne, il se trouve dans la situation où le bilan est négatif.
    En conséquence; l'option "infini" est impossible, pour la bonne raison qu'elle n'existe pas.
    Ta dernière phrase ne fait pas partie de l'énoncé, pourtant très clair.

  14. #11
    Dannh

    Re : Jeu de hasard martingale et espérance

    Salut, la strategie dont tu parles ressemble à la strategie classique de martingale qui consiste a partir des le premier instant ou on gagne et a doubler sa mise a chaque fois ou on perds, pour cette strategie on peut montrer que l'argent investis avant ce temps d'attente c'est a dire l'argent investi avant que l'on gagne pour la premiere fois est egale en MOYENNE à +infini mathematiquement c'est a dire l'esperance de ta variable aleatoire qui represente l'argent depensé avant ton temps de succes est +infini

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