Proba couple discrete esperance conditionnelle et esperance

[inviteec4f2ff3]

Bonjour, je ne comprends pas le resultat encadré, si j'utilise les formules vu en cours je ne tombe pas dessus.
De plus je ne comprends pas le resultat précedent (il y a une petite erreur il me semble, il calcule bien E(X|N) lorsque le résultat vaut : pN ) ,puisque lorsque que j'utilise la formule de l'esperance de Y sachant N ( somme des esperance conditionnelle x|N=n fois indicatrice de X=i ) le resultat n'est pas le meme. Ici il semble juste remplacer la "constante" n par une variable aleatoire discrete N ?
Merci de votre aide
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[invite9dc7b526]

Y est la somme de N variables de Benoulli X1,...,XN et N suit la loi géométrique. D'une manière générale, si N est une variable sur les entiers positifs et si Y=X1+...+XN où les Xi sont des variables entières indépendantes et de même loi, on a EY=EX*EN où X est une variable aléatoire de même loi que les Xi. On le montre aisément en calculant la fonction génératrice des probabilités. Ici EX=p et EN=1/p d'où le résultat.