Martingale

[invite54b1e16a]

Bonjour,
j'ai un problème après avoir repensé plusieurs fois je n'arrive pas à trouver

Soit Xn une martingale .On pose Tk=inf{n>=0 Xn >=k} un temps d’arrêt
je pose m=min(Tk,n) . On a Xm qui est une martingale .je dois montrer que Xm<= k.

donc j'ai commencé :
si Tk= infini , on Xm= Xn et Xn <=k
si Tk est fin on peut rien dire .
Donc on peut utiliser des indicatrices pour écrire Xm en fonction des valeurs de Tk si fini ou pas , mais le problème c'est que je peux majorer si Tk est infini mais pas Tk est fini

J'éspère quelqu'un pourra m'aider , merci
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[invite23cdddab]

Il y a un problème si tu es a temps discret : prend Bn une suite de va iid tel que Bn = 2 avec probabilité 1/2 et -2 avec probabilité 1/2, et Xn = somme Bi, pour i variant de 0 à n des Bi

Pose k = 5 et suppose maintenant que les Bi soient toujours égaux à 2 (c'est une réalisation possible):

Xn = (2,4,6,8,...)

Pour cette réalisation, Tk = 2 (car X0 < 5, X1 < 5 et X2 >=5)
Et alors Xm = ( X0, X1, X2, X2, ...)

Mais X2 > k donc Xm va dépasser k

En gros, le problème c'est que tu sais que tu es inférieur à k avant Tk, mais à l'instant Tk, tu peux dépasser strictement k. Or Si Tk est fini, m va finir être égal à Tk, et si XTk > k, alors Xm va dépasser k (à partir de l'instant Tk )