limite suite implicite. sol de x^n=cos x

[invite76fd1915]

Bonjour,

je travaille un exo et décidément, je n'arrive pas à conclure.

On considère l'équation sur pour tout . Bon.
J'ai déjà montré que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle, et ce pour tout n. (théorème des valeurs intermédiaires). On appelle cette solution .
Vous me voyez venir : on définit la suite et on s’intéresse à sa limite lorsque n tend vers .

J'ai commencé par montrer que la suite était croissante. Puisqu'elle est bornée, elle converge. J'aurais envie de dire qu'elle converge vers 1 mais je ne sais pas me débrouiller.

Par exemple, j'ai commencé par me dire que . Oui mais alors ?

Vous avez des idées ?
Merci !

Antoine
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[Resartus]

Bonjour,
Pour résoudre, on peut par exemple poser xn=1-yn. et on a (1-yn)^n=cos(1-yn)

Comme cos(1-yn) est supérieur à cos(1), il n'est pas trop difficile de montrer (en prenant par exemple les ln), que yn tend vers zero

[invite332de63a]

Bonjour,

Résumons, tu as une suite de [0,1] vérifiant .

Si tu veux montrer que ce que tu peux faire c'est montrer que 1 est une valeur d'adhérence de la suite, c'est à dire que pour tout il existe un terme de la suite dans l'intervalle . Et comme la suite admet une limite, ça ne peut être que cette valeur d'adhérence, c'est à dire 1. Donc en gros, pour un epsilon donné, il faut trouver n tel que . Tu peux même discrétiser sur , par exemple prendre à priori si jamais cela peut t'aider. Le tout étant que ce puisse être aussi proche de 0 qu'on le souhaite.

Il y a peut être plus simple... Bonne recherche.

[invite23cdddab]

Le plus simple, c'est de remarquer que , donc que

Donc si x_n converge, la limite est supérieure ou égale à 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Il est facile d'étudier les variations de la fonction : , d'en déduire que la suite est définie par : et de conclure.