Convergence ps et dans L2 d'une martingale

[invite2ec0a62b]

Bonsoir à tous,

En application du théorème suivant :

Si (M_n)_n est une (F_n)-martingale réelle de carré intégrable vérifiant , alors (M_n) converge presque sûrement et dans L² vers une même variable aléatoire.

je voudrais montrer la convergence presque sûre et dans L² de la martingale où X est une variable aléatoire de carré intégrable.
Je n'arrive pas à montrer la condition sur le sup de l'espérance du carré de la martingale. Je constate l'égalité suivante : mais je ne pense pas que ça aboutit à quelque chose ….
Auriez vous des idées ?


Bien cordialement.
-----

[invite34b13e1b]

Salut,
comment montres-tu l'égalité que tu "constates" ? Il s'agit en fait d'une inégalité.

Une fois que tu as ton ingéalité, ll suffit de passer à l'esperance, et d'utiliser une prop bien connue sur les esperances conditionnelles pour conclure.

[invite2ec0a62b]

D'accord, je pense avoir compris. Effectivement, l'égalité est en fait une inégalité (convexité de la fonction carré). On montre alors que la suite des (E[M_n²])_n est une suite croissante. Elle converge dans R car elle est majorée (par E[X²], ce qui s'obtient avec la convexité de la fonction carré et le double conditionnement avec la tribu grossière)