Un problème géometrique: Partition du cube

[invitea47ed71f]

Bonjour,

J'ai un problème de géométrie, et je me demande bien comment l'attaquer... Toute idée est la bienvenue!

Voici le problème: Je commence par en donner une image simplifiée puis je décrit le problème plus complet.

On prend un rubiks cube, de côté 1: chaque face est partagée en 9 petit carreaux et le cube est divisé en 27 petits cubes.
Sur 3 faces partageant un même sommet (bleu jaune rouge par exemple), on écrit un 0 ou un 1 sur chacun des 9 petits carreaux
Ensuite, on attribue à chacun des 27 petits cubes un 3-uplet correspondant aux chiffres écrits sur les 3 petits carreaux qui lui correspondent par projection orthogonale: Chacun des 27 cube est associé à (000), (001), ..., ou (111) [2*2*2=8 possibilités.]
On note A le volume de (100) [soit 1/27*nombre de cubes correspondant à (100)], B le volume de (010) et C le volume de (001).
Le but du jeu est de montrer qu'on ne peut pas avoir n'importe quel (A,B,C): Par exemple, A=B=C=1/3 est impossible (je peux expliquer la démo si besoin).



Voici maintenant le problème complet: Quand on a compris le premier, on passe facilement à celui-ci
On prend un cube de coté 1. Contrairement au Rubiks cube, chaque coté est subdivisé en 10 et les subdivisions ne sont pas forcément de taille égale. (c'est donc un Rubiks cube 10*10*10 déformé)
De la même manière, on écrit des 0 ou 1 sur chaque petits carreau de 3 faces partageant un même sommet.
Chacun des 1000 petit cube est associé à (000), (001), ... et on note de nouveau A le volume de (100), B ..., C ...

De nouveau, il n'est pas si difficile de montrer qu'il n'est pas possible d'avoir A=B=C=1/3, et même que si A+B+C=1, alors forcément A=0 ou B=0 ou C=0.

Je conjecture la chose suivante:
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J'espère avoir été clair dans mes explications, je peux préciser. Je ne cherche pas forcément qqun pour résoudre le problème, qui ne me semble pas trivial, une bonne piste est aussi la bienvenue!
Merci
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[invite9dc7b526]

On prend un rubiks cube, de côté 1: chaque face est partagée en 9 petit carreaux et le cube est divisé en 27 petits cubes.
Sur 3 faces partageant un même sommet (bleu jaune rouge par exemple), on écrit un 0 ou un 1 sur chacun des 9 petits carreaux

il y a beaucoup de façons de faire ça.

[gg0]

Bonjour.
"les 3 petits carreaux qui lui correspondent par projection orthogonale" ??? C'est peut-être clair dans ta tête, mais c'est incompréhensible écrit comme ça !

[invitea47ed71f]

il y a beaucoup de façons de faire ça.

Oui, et c'est justement ce qui rend le problème difficile. Il faut montrer que pour toute les manières de faire cela, les A, B et C ne sont jamais tels que A>=1/4, B<=1/4 et C>1/4.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea47ed71f]

Bonjour.
"les 3 petits carreaux qui lui correspondent par projection orthogonale" ??? C'est peut-être clair dans ta tête, mais c'est incompréhensible écrit comme ça !

Oui, désolé. J'aimerais modifier directement dans mon post mais je ne peux pas, j'explique ici:

Les trois faces partageant le même sommet sont notées S_x, S_y et S_z et sont respectivement orthogonales à un vecteur de base u_x, u_y et u_z. Le sommet partagé par les trois faces est le point O de coordonnées (0,0,0)
Chacun des 27 petits cubes à pour coordonnée discrète (x,y,z) où x, y, z € {0, 1/3, 2/3} (j'espère que c'est clair, comme tout est discret, je donne juste la "coordonnée inférieur").

Le cube de coordonnée (x,y,z) est associé au 3-uplet (a,b,c) où:
a est le chiffre associé au petit carreau (0,y,z)
b est le chiffre associé au petit carreau (x,0,z)
c est le chiffre associé au petit carreau (x,y,0)

Je ne suis pas sûr d'être clair... C'est très simple sur un dessin mais beaucoup plus compliqué à l'écrit!