un paradoxe sur l'ensemble des nombres premiers ?

[andretou]

Bonjour à tous
Voila le problème :
1/ Euclide a démontré qu'il existe une infinité de nombres premiers ;
2/ Puisqu'on peut établir une bijection entre l'ensemble des nombres premiers et l'ensemble des entiers naturels, alors le cardinal de l'ensemble des nombres premiers est égal au cardinal de l'ensemble des entiers naturels : Card(P) = Card(N) ;
3/ On a donc Card(P) / Card(N) = 1

Par ailleurs :
4/ Hadamard et De La Vallée Poussin ont démontré que le nombre de nombres premiers compris entre 1 et n (n étant aussi grand que l’on veut) tend vers n / Log(n) ;
5/ Donc, le rapport entre le nombre de nombres premiers et le nombre d'entiers naturels est égal à : (n/Log(n)) / n, soit 1/Log(n) ;
6/ Donc, quand n tend vers l'infini, le rapport entre le nombre de nombres premiers (c'est-à-dire Card(P)) et le nombre d'entiers naturels (c'est-à-dire Card(N)) tend vers 0 ;

Mais comment cela est-il possible puisque Card(P) = Card(N) ? En toute logique, le rapport entre le nombre de nombres premiers Card(P) et le nombre d'entiers naturels Card(N) ne devrait-il pas tendre vers 1 ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[pm42]

Tu n'as pas besoin de prendre le nombres premiers. Tu prends les nombres pairs, ils sont aussi nombreux que les entiers naturels et avec ta méthode, le ratio des cardinaux vaut 1/2.

Conclusion : prendre le ratio des cardinaux ne veut rien dire puisque tu divises des infinis entre eux.

[feanorel]

Il y a tout plein d'erreurs classiques dans ton raisonnement :
1) il n'y a pas de notion de division dans l'ensemble des tailles des cardinaux
2) cela ne fait pas de sens d'écrire quelque chose comme

Pour te donner un exemple plus simple que celui des nombres premiers, ton raisonnemnt est le suivant :
1) on peut faire une bijection entre l'ensemble des entier pairs et l'ensemble des entiers, ils ont donc le même cardinal.
2) donc "logiquement" le cardinal de l'ensemble des entiers pairs plus petit que N (environ N/2) divisé par le cardinal de l'ensemble des entiers plus petit que N (exactement N) "devrait" tendre vers 1 alors qu'il tends vers 0.5.

edit : même réponse qu'au dessus ^^

[andretou]

En effet, merci beaucoup pour votre remarque !
C'est aussi le cas pour les carrés, dont la proportion parmi les entiers tend vers racine de n...

Mais existe-t-il un autre ensemble de nombres dont la proportion parmi les entiers naturels tend vers 0 ?
Ou l'ensemble des nombres premiers est-il le seul dans ce cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[feanorel]

Quel est la densité de l'ensemble des carrés ?

[ansset]

Mais existe-t-il un autre ensemble de nombres dont la proportion parmi les entiers naturels tend vers 0 ?
Ou l'ensemble des nombres premiers est-il le seul dans ce cas ?

tu peux construire une infinité d'ensemble de ce type.
ex simple : Un=10^n

[andretou]

Quel est la densité de l'ensemble des carrés ?

Ce n'est pas racine de n ?

[Médiat]

Bonjour

il existe une demi douzaine (au moins) de notions de densité sur les entiers, une particulièrement intéressante (à mon gout) est la densitéde Schnirelmann

[andretou]

tu peux construire une infinité d'ensemble de ce type.
ex simple : Un=10^n

En effet, je te remercie pour ta remarque.

[feanorel]

Ce n'est pas racine de n ?

Non, ça c'est le nombre de carré plus petit que n (au premier ordre). La densité (celle que tu as mentionné pour les premiers) c'est ce même nombre divisé par n,
donc 1/sqrt(n) qui tends bien évidemment vers 0.

[andretou]

Non, ça c'est le nombre de carré plus petit que n (au premier ordre). La densité (celle que tu as mentionné pour les premiers) c'est ce même nombre divisé par n,
donc 1/sqrt(n) qui tends bien évidemment vers 0.

Oui, en effet !

[andretou]

il existe une demi douzaine (au moins) de notions de densité sur les entiers, une particulièrement intéressante (à mon gout) est la densitéde Schnirelmann

Merci Médiat.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Densit...e_Schnirelmann