Ensemble des nombres premiers est fermé

[invite06a166f3]

Bonjour, je me penche en ce moment sur l'ensemble des nombres premiers, et j'aimerais savoir si cet ensemble est fermé ou ouvert. J'ai considéré une suite de nombres premiers qui converge, mais je ne sais pas trop comment faire pour prouver que cette limite est un nombre premier ( dans l'hypothèse ou l'ensemble des nombres premiers est fermé). Si quelqu'un avait une idée, je suis preneur !
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[gg0]

Bonjour.

Quelle est la topologie ? En termes plus simples, dans quel ensemble travailles-tu et qu'appelles-tu converger ?
Dans , l'ensemble des nombres premiers est discret, chaque point est bien séparé des autres, donc il est fermé. Une suite convergente de nombres premiers est constante à partir d'un certain terme.

Cordialement.

NB : A priori, pour un ensemble, fermé ne veut rien dire.

[invite7ce0deca]

Bonjour,

Tu parles d'être fermé ou ouvert pour quelle topologie ?

L'ensemble des nombres premiers est une partie de , et la topologie usuelle sur est la topologie discrète, c'est à dire la topologie pour laquelle toutes les parties sont ouvertes (et donc aussi fermées), c'est en particulier le cas de l'ensemble des nombres premiers.
Si tu préfères, cette topologie est définie par la distance (la même que sur ), et cette distance ne prend que des valeurs entières. Si tu considères une suite d'entiers naturels qui converge vers un entier naturel , alors par définition de la limite, à partir d'un certain rang on aura , donc forcément , ce qui signifie que la suite est constante à partir d'un certain rang. Donc, une suite de nombres premiers convergente converge vers un de ses termes, qui est un nombre premier ; ce qui montre que l'ensemble des nombres premiers est fermé. De même, une suite d'entiers non premiers qui a une limite converge vers un nombre non premier, et donc l'ensemble des nombres non-premiers est aussi fermé dans , donc l'ensemble des nombres premiers est ouvert.
Attention, ce que je dis n'est pas vrai dans : dans cet espace, l'ensembles des nombres premiers (comme toute partie non-vide de , d'ailleurs) est fermé mais pas ouvert (car si est un entier, on peut trouver une suite de réels non entiers qui converge vers ).

Si tu ne parlais pas de la topologie usuelle sur , mais d'une autre, alors là la question devient plus intéressante ; mais ça serait bien de préciser de quelle topologie il s'agit pour qu'on puisse répondre.

[invite06a166f3]

Oui c'est vrai que je n'ai pas bien préciser, et en fait j'utilise la topologie de N,' donc la moins intéressante désolé !). Et alors avec cette btopologie, l'ensemble des nombres premiers est à la fois ouvert et fermé, c'est ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Avec la topologie discrète, tous les sous-ensembles sont à la fois ouverts et fermés. Ce qui simplifie grandement la réponse à ce genre de question