L'ensemble des nombres premiers !

[invite15e03428]

salut,

Est ce que les nombres premiers sont finis ou infinis??
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[invite1237a629]

'lut

L'ensemble des nombres premiers est infini

La démonstration se fait par l'absurde (et a été faite par un grec, me souviens jamais du nom).

Numérote tous les nombes premiers (vu que c'est un ensemble fini), et étudie le produit de tous ces nombres premiers + 1.

[invite769a1844]

'lut

L'ensemble des nombres premiers est infini

La démonstration se fait par l'absurde (et a été faite par un grec, me souviens jamais du nom).

Numérote tous les nombes premiers (vu que c'est un ensemble fini), et étudie le produit de tous ces nombres premiers + 1.

C'était pas Euclide?

[Gwyddon]

C'était pas Euclide?

En effet c'était lui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15e03428]

Numérote tous les nombes premiers (vu que c'est un ensemble fini), et étudie le produit de tous ces nombres premiers + 1.

peut tu expliquer plus!! je vois pas pourquoi il a étudié le produit des nombres premiers +1??

[Gwyddon]

Hello,

Tu raisonnes par l'absurde, donc tu supposes qu'il y un nombre fini de nombres premiers (disons un nombre N).

Ton but : en construire un nouveau qui ne soit pas parmi ce nombre fini. Tu auras donc une contradiction

Maintenant regarde ce que tu peux dire du produit des N nombres premiers + 1.

[invite769a1844]

salut gwyddon,

je vois que tu as déménagé

[invite15e03428]

mais là aussi il faut montrer que le produit de N + 1 est premier..
je crois qu'on peut motrer ça par réccurence.
en effet : pour N=2 :
2 *3 = 6 et 6+1=7 premier!
...
hmm je vois pas comment continuer ???

[invite769a1844]

On suppose donc par l'absurde qu'il existe un nombre fini de nombres premiers .

On note .

est strictement plus grand que tous les , il est donc par hypothèse pas premier.

Là tu considères l'entier étant défini comme le plus petit entier distinct de 1 qui divise .

1) Montre que est premier.

2) déduis-en qu'il est donc égal à l'un des .

3) Montre alors que ce qui est contradictoire.

Conclusion: est premier, ce qui est absurde, donc l'ensemble des nombres premiers est infini.

[Gwyddon]

Hello,

Ce n'est pas une récurrence qui te permettra de conclure (disons que ce n'est pas nécessaire).


Je te donne un indice : si a|b et a|c, alors a|(b+c) pour tout a,b,c entiers relatifs

[bubulle_01]

On suppose donc par l'absurde qu'il existe un nombre fini de nombres premiers .

On note .

est strictement plus grand que tous les , il est donc par hypothèse pas premier.

Là tu considères l'entier étant défini comme le plus petit entier distinct de 1 qui divise .

1) Montre que est premier.

2) déduis-en qu'il est donc égal à l'un des .

3) Montre alors que ce qui est contradictoire.

Conclusion: est premier, ce qui est absurde, donc l'ensemble des nombres premiers est infini.

En considérant les diviseurs premiers de , on se rend compte qu'ils ne font pas parti de l'ensemble des nombres premiers supposés.
On a donc découvert au moins un nouveau nombre premier indépendant de l'ensemble supposé. Ce qui contredit l'hypothèse.
Je pense que mon raisonnement est bon et suffit non ?

[invite769a1844]

oui pardon une petite erreur, il faut remplacer les p par des p+1 dans ce que je viens de dire.

Donc d est diviseur distinct de 1 de

et on en conclut que _p+1 est premier.

[invite15e03428]

salut rhomuald

à cause de ton erreur je suis pas arrivé à conclure..j'ai passé tout 20 minutes pour répondre aux 3 questions..peut tu reformuler l'exercice correctement stp, pour que j'essaye de répondre à nouveau!! ta méthode est intéréssante .

merci

[Gwyddon]

Euh Buraq tu n'as pas l'impression de te foutre de notre tronche ? Déjà que rhomuald t'a mâché le travail, maintenant tu vas bosser et tu reviens avec la solution.

[invite769a1844]

salut rhomuald

à cause de ton erreur je suis pas arrivé à conclure..j'ai passé tout 20 minutes pour répondre aux 3 questions..peut tu reformuler l'exercice correctement stp, pour que j'essaye de répondre à nouveau!! ta méthode est intéréssante .

merci

désolé pour la perte de temps, j'ai donné les modif à faire de mon post précédent. Il n'y a plus grand chose à faire, mais du moins que tu saches le faire, ça porte sur des notions de divisibilité que tu dois connaitre, en plus gwyddon t'as donné un indice.

[invite15e03428]

salut Gwyddon

Euh Buraq tu n'as pas l'impression de te foutre de notre tronche ?

Non absolument non au contraire je suis ravi de ces réponses.
Je te remercie vivement rhomuald pour le soin de me faire faire la démonstration..

maintenant tu vas bosser et tu reviens avec la solution.

j'ai essayé et voici la solution :

1) et 2) p est le produit de nombres premiers P1, P2,...Pn et d divise P , d est définit comme le plus petit entier >1 et <P donc d est premier plus précisement d=P1.

3) là ou j'ai trouvé des dificultés c'est de trouver les b et c et a qui vérifie l'indice de Gwyddon .en effet: d divise P et d divise P^2 alors d divise (P^2+p) implique d divise P(P+1) implique d divise P+1 implique d =1 contradiction !! (puisque d>1) donc notre hypothèse sur P+1 est fausse donc P+1 premier.

j'attends vos commentaires..cette fois j'ai fait une heure pour trouver çà oui c'est vrai je suis nul (sourire)

[invitec053041c]

En utilisant p=p1...pn, et m=p+1, on voit que pour tout i de 1 à n, m vérifie l'égalité de Bezout avec pi.
Donc m est premier avec tous les pi, soit m premier, si je ne m'abuse.

[invite15e03428]

c'est quoi l'égalité de bezout ?

[invitec053041c]

Pour a et b donnés, s'il existe u et v tels que au+bv=1,alors a et b sont premiers entre eux (théorème élémentaire,fondamental, de l'arithmétique).

[invite15e03428]

mais nous cherchons: p+1 est premier et non p+1 et premier avec Pi!!

[invitec053041c]

mais nous cherchons: p+1 est premier et non p+1 et premier avec Pi!!

S'il est premier avec tous les nombres premiers qui lui sont inférieurs...il est grillé le pauvre.

[invite15e03428]

oui si p+1 et premier avec tous les pi alors p est premier. mais malheureusement il faut le montrer càd trouver u et v tels que:
(p+1)*u+pi*v=1 pour chaque i

[invitec053041c]

Ben c'est clair non ?
pour m=p1...pn +1, si on veut montrer que m est premier avec p2, on a:

1.m+(-p1.p3.p4...pn).p2=1

u=1, v=-p1.p3...pn

Et de même pour tous les pi.

[Médiat]

Je viens de lire plusieurs fois la même erreur : p + 1 n'a aucune raison d'être premier, ce n'est pas cela qui doit être démontré, mais que ses diviseurs (sauf 1) sont plus grands que les p_i, ce qui contredit bien l'hypothèse (bubulle_01 l'a déjà dit).

4! + 1 = 25 qui n'est pas premier.

[acx01b]

salut Buraq

j'ai envie de dire apprends à utiliser google


en tapant par exemple "infinité de nombres premiers"

pour l'égalité de bezout c'est pareil

[invitec053041c]

Je viens de lire plusieurs fois la même erreur : p + 1 n'a aucune raison d'être premier, ce n'est pas cela qui doit être démontré, mais que ses diviseurs (sauf 1) sont plus grands que les p_i, ce qui contredit bien l'hypothèse (bubulle_01 l'a déjà dit).

4! + 1 = 25 qui n'est pas premier.

Je ne vois pas du tout où est mon erreur.. Je montre avec bezout que (p1...pn) +1 est premier avec tous les pi, ce qui veut bien dire qu'au final il est premier.
Votre exemple n'illustre rien, car 4!=2*3*4 avec 4 non premier...
En revanche 2*3+1 est premier, 2*3*5+1 l'est aussi etc.

[bubulle_01]

Je pense aussi que les deux raisonnements sont bons.
Médiat, tu as dû confondre factorielle et primorielle (à savoir le produit de nombres premiers) à la vue du contre exemple que tu proposes.
A titre d'information, les nombres de la forme de sont dits "nombres premiers primoriels", dans le cas où ils sont premiers. Il n'est pas prouvé qu'ils sont infinis ...

[breukin]

Bon, ici, il n'y a quand même pas besoin de Bezout.

On part de l'hypothèse qu'il y a un nombre fini N de nombres premiers : p₁ < p₂ < ... < p_N, et on construit le nombre P = p₁.p₂...p_N + 1.
Aucun des N nombres premiers p_i le divise, puisqu'il y a ce foutu +1 ! Donc P serait aussi un nombre premier, puisqu'on ne peut lui trouver de diviseur, à part 1 et P lui-même, bien sûr. Or comme P supposé premier est plus grand que chacun des p_i, il ne peut pas être l'un d'eux. Contradiction.

[invite1237a629]

C'est bien ce qu'on dit depuis le début, breukin
Par Bézout ça marche aussi...

M'enfin Buraq voulait la démonstration en entier, ayé, il l'a ~~"

[invite769a1844]

hébé quel micmac!

Je viens de lire plusieurs fois la même erreur : p + 1 n'a aucune raison d'être premier, ce n'est pas cela qui doit être démontré, mais que ses diviseurs (sauf 1) sont plus grands que les p_i, ce qui contredit bien l'hypothèse (bubulle_01 l'a déjà dit).

4! + 1 = 25 qui n'est pas premier.

je pense que ce que Médiat a voulu dire est que si on prend un nombre fini de nombre premiers et qu'on en considère le produit p,

alors p+1 n'est pas forcément premier comme le suggère son exemple.

Par contre si on part par un raisonnement par l'aburde, donc qu'on considère que l'ensemble des nombres premiers est fini, alors on montre que le produit de tous les nombres premiers +1 est premier.