Loi de composition compatible

[invite43f8d775]

Bonjour à tous

Voila mon problème:
Soit l'ensemble E de couples d'entiers tels que
E = {(p,k) / p >= 2, k appartient à Z}

On définit la relation d'équivalence ~ par
(p,k) ~ (p',k') <=> 2^(p-2) +3k =2^(p'-2) +3k'

On cherche une loi de composition interne T de E, compatible avec ~, c'est à dire :
si (p,k) ~ (p',k') et (q,m) ~ (q',m') alors (p,k) T (q,m) ~ (p',k') T (q',m')

J'ai essayé pas mal de lois de composition différentes mais je n'en trouve pas de compatible avec ~.

Est il possible qu'il n'en existe pas ?
Y-t-il une méthode pour la trouver ?

Meci de votre aide
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[jacknicklaus]

que dirais tu de ?

[invite43f8d775]

Ooops,

ja' oublié une précision

E = {(p,k) / p pair >= 2, k appartient à Z}

[Médiat]

Bonjour,

J'ai essayé pas mal de lois de composition différentes mais je n'en trouve pas de compatible avec ~.

(p,k) T (q,m) = (p, k)

(p,k) T (q,m) = (2, 0)

Il est facile de trouver un représentant particulier de chaque classe (celui avec le p minimum), toutes les opérations portant sur ces représentants sont compatibles avec ~.

Je ne pense pas que la proposition de jacknicklaus soit acceptable (ce n'est pas une CNI)

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Ooops,

ja' oublié une précision

E = {(p,k) / p pair >= 2, k appartient à Z}

Damned, alors non ma proposition ne marche pas.

[invite43f8d775]

@jacknicklaus

Bel effort, mais E= ensemble de couples d'entiers . Or LOG2(2^p +2^q) n'est pas entier. Donc ton T n'est pas une loi de composition intrene à E

Amicalement

[invite43f8d775]

@Mediat

(p,k) T (q,m) = (p, k)

(p,k) T (q,m) = (2, 0)

Oui, en effet, mais ce sont des lois de composition un peu triviales; à moins que le ne comprenne pas leur intérêt . Néanmoins, ça a le mérite de répondre à ma première question. Je cherche des lois moins triviales de la forme (p,k) T (q,m) = (f(p,k,q,m) , g(p,k,q,m) ) voire (p,k) T (q,m) = (f(p,q) , g(k,m) ).

cordialement

[Médiat]

Par exemple

En notant (p', k') le représentant privilégié de la classe de (p, k) :

(p,k) T (q,m) = (p' + q', k' + m') ou (p'+ 2m', 5 - k +5q), ou n'importe quoi ne dépendant que de p', k', q', m'

[Médiat]

Damned, alors non ma proposition ne marche pas.

Même sans la condition p pair, cela ne marche pas

[Médiat]

Un autre genre d'idées :

(p,k) T (q,m) = (2*|(2^(p-2) +3k) * (2^(q-2) +3m) + 2| , (2^(p-2) +3k) + (2^(q-2) +3m))

[invite43f8d775]

Par exemple

En notant (p', k') le représentant privilégié de la classe de (p, k) :

(p,k) T (q,m) = (p' + q', k' + m') ou (p'+ 2m', 5 - k +5q), ou n'importe quoi ne dépendant que de p', k', q', m'

L'idée est bonne. En développant la première solution je trouve

(p,k) T (q,m) = (p' + q', k' + m') = (4, k + (2^(p-2)/3+ m +(2^(q-2)/3 )
(4, k + (2^(p-2)/3+ m +(2^(q-2)/3 ) ~ (2, k + (2^(p-2)/3+ m +(2^(q-2)/3 +1 )

[invite43f8d775]

Un autre genre d'idées :

(p,k) T (q,m) = (2*|(2^(p-2) +3k) * (2^(q-2) +3m) + 2| , (2^(p-2) +3k) + (2^(q-2) +3m))

Je ne comprends pas l'idée ?

[Médiat]

2^(p-2) +3k ne dépend que de la classe de (p, q), donc tous les calculs ne dépendant que de cette quantité ne dépend pas que de la classe et non de son représentant

[invite43f8d775]

Astucieux !

merci

note tu as écris (p,q). Tu voulais dire (p,k) je pense ?

[Médiat]

note tu as écris (p,q). Tu voulais dire (p,k) je pense ?

Oui, désolé.