Enigme polynome dans Z

[invite03ef28af]

Bonjours voici l'enoncé de mon enigme:
Deux mathématiciens discutent :
-Devines l'age de mob fils, cachant qu'il est racine d'un polynome P à coefficients dans Z.
-Je sais : il a 7 ans.
-non, P(7)=77, et mon fils est plus agé.
-bon alors il a le meme age que mon chiens.
-non plus! si y designe l'age de ton chien, P(y)=85 et mon fils est encore plus agé.
- alors j'ai trouvé.

Quel est donc l'age du fils et du chien.

Je pose alors g l'age du fils.
on a donc (X-g) | P
si
alors on a :



j'ai pensé tout d'abord a traduire cela en un syteme 3*n mais cela ne parait mener a rien
J'ai ensuite penser a Rolle mais je ne pense pas.
Je ne connais pas bien les polynomes dans Z et leur propriété alors je ne vois pas très bien ce que ca apporte.

Auriez vous des pistes ? Merci
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[Verdurin]

Bonsoir.
Soit P le polynôme.
Il peut s'écrire (g-X)Q(X) où Q est un polynôme à coefficients dans Z.

On a donc (g-7)Q(7)=77 et on sait, grâce à la discussion sur l'age du chien que g-7>1.

Il reste assez peu de possibilité pour g sachant que Q(7) est un entier.

[invite03ef28af]

oui j'ai en effet avancé dans cette direction en remarquant que :
a-b | P(a)-P(b)
on arrive donc a réduire le nombre de choix possible a :
y= 8, 9 , 11 ou 15
g=8, 14 , 18 , 84

J'essaye de voir comment en éliminé certains (en sachant que 8 est impossibles puisque y< g)

[invite03ef28af]

J'ai trouvé :
y=9
g=14,
en effet g-y | 85 (grace a votre astuce)
donc g-y = 1,5,17 ou 85
donc d'après les condtions sur y et g
forcement g-y =5
d'ou le résultat

[A voir en vidéo sur Futura]

[Verdurin]

Je trouve le même résultat.