Bonjour,
J'étudie les systèmes dynamiques, voici un exemple de système dynamique simple :
dx(t)/dt = a11*x(t) - a12*y(t)
dy(t)/dt = a21*x(t) - a22*y(t)
Les coefficients a sont des constantes. On remarque que les deux variables x(t) et y(t) sont liées entre elles.
Le but est de trouver les états stationnaires et évaluer leurs stabilités.
Pour les états stationnaires facile : "stationnaire" = "qui n'évolue pas au cours du temps" donc on égale les dérivées à 0 et on recherche les états stationnaires.
Pour évaluer la stabilité c'est beaucoup moins intuitif : on étudie les valeurs propres de la jacobienne du système dynamique. Si les valeurs propres évaluées aux points stationnaires sont négatifs : c'est stable. Si une des valeurs propres est positive : c'est instable.
Intuitivement on peut imaginer que la valeur propre est l'exposant de la réponse exponentielle du système : si l'exposant est positif le système aura alors forcément tendance à diverger, mais je ne sais pas du tout d'où ça sort... J'aimerais bien des preuves. J'aimerais comprendre, pas avaler une méthode...
Merci !
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