Isomorphisme de groupes

[slivoc]

Bonjour,

J' aurai voulu savoir si il y avait une (ou des) condition(s) nécessaire(s) & suffisante(s) pour que lorsqu' on ait un groupe G et un sous groupe H distingué dans G, on ait
G qui soit isomorphe à H x G/H. Ce qui doit revenir à se demander si il existe K un ss-groupe de G tq ses éléments forment un ensemble de représentants de G/H. Par exemple si il existe K dans G, tq K soit distingué dans G, H n K={e}, KH=G ça marche, en effet on a KH/H isomorphe à K/(H n K) ( par le 2eme théorème d' isomorphisme) donc, G/H isomorphe à K, et donc (G/H) x H isomorphe à K x H qui est isomorphe à G. Il y a aussi des exemples où on peut montrer que ce n' est pas possible, par exemple dans S3. Je cherchais une condition sur G un peu plus explicite que l' existence d' un tel sous-groupe.

En espérant avoir été clair,
Bonne soirée !
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[slivoc]

PS: Je cherche une C.N.S sur G pour que cela soit vrai pour tout sous-groupe distingué de G si c' est possible !

[Seirios]

Bonjour,

Je ne sais pas si cela correspond avec ce que tu cherches, mais dès que tu as un sous-groupe distingué , tu as automatiquement une suite exacte courte . Une telle suite se scinde s'il existe une section , c'est-à-dire une application vérifiant . Si c'est le cas, alors va scinder en un produit semi-direct , où agit sur par conjugaison via . Finalement, ce produit semi-direct sera un produit direct si l'action est triviale, c'est-à-dire si pour tout .

Sinon, tu peux parler de produit direct interne. Si est un groupe et deux sous-groupes, alors on dit que est un produit direct interne si : , , et sont des sous-groupes normaux.

[slivoc]

Bonjour,

Merci d' avoir répondu! Honnêtement le niveau de ta réponse dépasse pas mal mes connaissances, j' imagine qu' on verra l' an prochain dans le module " modules & corps" ce que signifie scinder une suite exacte courte, de même qu' un produit semi-direct. Mais si c' est une bonne façon de répondre à la question je vais aller me renseigner ! Lorsque tu dis que le produit semi-direct est un produit direct si l' action est triviale, est-ce une équivalence ? parce que si oui, ça répondrait parfaitement à la question !
Pour le dernier paragraphe, c' est en fait ce que j' ai écris pour un exemple où ça marcherait assurément je crois !

Merci et bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

En fait, les mots compliqués de ma réponse ne servent à rien. Tu peux simplement dire que, si est un sous-groupe distingué, alors tu as un morphisme associé au passage au quotient : . Puis si tu arrives à trouver une application vérifiant , alors tu peux composer en un produit semi-direct , où agit sur par conjugaison via . Après, il est vrai que ce produit semi-direct est un produit direct si, et seulement si, cette action est triviale.

[slivoc]

Dans le cas où G est fini et H est uns ss-groupe de G non trivial, une telle application s n' existe pas puisque #(G/H) = #G/#H < #G. Et pourtant il existe bien des groupes finis que l' on peut décomposer de la forme souhaitée: par exemple si m et n sont deux entiers premiers entre eux plus grands que 1, alors on peut regarder g= Z/nmZ et H= nZ/nmZ, on a bien H distingué dans G et G est bien isomorphe à H x G/H. Donc la condition semble être suffisante mais pas nécessaire
Pour que je parte dans la bonne direction, quand tu parles du produit semi-direct, c' est bien le produit semi-direct interne comme défini ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_semi-direct ? c' est qui me semble le plus probable, mais je préfère être sure !
Sinon j' avais peut-être pensé à une condition( qui ressemble à celle de l' existence de l' application s ) qui est que pour tout couple (K,f) où K est un groupe et f un morphisme de de G vers K, il existe un sous groupe L de G tq L soit isomorphe à Im(f) et cet isomorphisme est égal à f restreint à L ( en gros f et cet isomorphisme coïncide sur L) . Je me suis dit que ça pourrait peut etre marcher parce qu' un sous groupe est distingué ssi il est le noyau d' un morphisme (d' où le couple (K,f)). Mais bon, ça me parait pas super explicite comme condition...
Merci d' avoir pris le temps de me répondre et Bonne soirée !

[AncMath]

Pourquoi un telle section n'existerait pas ? Les conditions la forcent à être injective pas surjective donc l'inégalité des cardinaux ne pose pas d'obstruction.
Si s'écrit comme un produit semi direct avec distingué tu as bien une application qui possède une section.

[slivoc]

C' est bien possible que je me plante fortement, mais si (je note P au lieu de Pi) P:G-->G/H et s:G/H-->G, s o P: G-->G/H-->G, s o P=Id(G), alors s est nécessairement surjective, si s n' est pas surjective, il existe y dans G tq pour tout x dans G/H, s(x) différent de y, alors s o P n' est pas l' identité de G ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Surjection paragraphe "section et axiome du choix"). Mais en fait j' ai peut etre pas compris, une section d' un morphisme f:G->H, c' est un morphisme ( ou juste une application ? ) s:H->G vérifiant s o f= id(G), donc une section est forcément surjective ?

[slivoc]

Oups, je n' avais pas lu la fin du paragraphe que je viens de mentionner. En reprenant les notations de mon message précédent, d' après la définition de wikipedia, f serait en fait une section de s, alors que d' après le message 1 de Seirios, la section de f serait s.
Désolé pour le flood et bonne soirée !

[AncMath]

Je n'avais pas fait assez attention au message de Seirios il s'est trompé dans l'ordre des termes est une section de c'est a dire un morphisme qui vérifie et pas ce qu'il a écrit.
Le prototype d'une section c'est l'inclusion définie par qui scinde la projection . C'est une application nécessairement injective.
Dans le cas qui nous intéresse on cherche une section qui soit un morphisme, une section ensembliste existe toujours pour toute application surjective par l'axiome du choix.

[slivoc]

Merci, je croyais ne plus rien comprendre !
Par contre quand vous parlez de produit semi-direct, c' est celui qui est interne ou celui qui est externe https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_semi-direct ? Parce que je n' en n' ai pas encore entendu parlé en cours !

[AncMath]

Il n'y a pas de produit semi-direct internet et externe. Ce sont la même chose. Laisse moi t'expliquer pourquoi.

Prend un groupe qui agit sur un autre groupe et suppose que cette action est "linéaire" c'est à dire . Autrement dit l'application qui caractérise l'action se factorise en elle atterrit dans le sous groupe des automorphismes si tu préfères. Attention ici j'ai noté de la même manière la multiplication dans les groupes et l'action.

Dans ces conditions tu peux former le produit semi direct de par que je note qui ensemblistement est le produit mais la loi de groupe est donnée par . Il est facile de vérifier que est un groupe et la projection est un morphisme de groupe de noyau , donc est distingué dans . Il est clair que est aussi un sous groupe de mais lui n'a aucune raison d’être distingué.

Si l'on voit et comme sous groupes de on peut se demander si on a pas un moyen plus simple de décrire l'action de sur et la réponse est oui. En effet regardons l’élément et conjuguons le par un élément on obtient

.

Autrement dit si l'on voit et comme sous groupe du produit semi-direct l'action de sur est donnée par conjugaison.

Maintenant supposons qu'on a un groupe qui contient deux sous groupe et avec le premier distingué dans . On a une action de sur donnée par la conjugaison. Comme est distingué l'action de par conjugaison le laisse stable, c'est la définition d'être distingué et on hérite d'une action de sur qui est linéaire.

On est donc dans la situation précédente et on peut former le produit semi-direct . C'est un autre groupe que a priori. Mais on peut se demander si ne serait pas isomorphe à par un isomorphisme qui induit l'identité sur et vus comme sous groupe de et de .

En général ça n'est pas le cas, mais si les conditions données plus haut sont vérifiées alors ce sera le cas. Tu peux donc identifier et et voir comme le produit semi-direct de par .

[slivoc]

Merci beaucoup pour ta réponse détaillée !
J' aurai néanmoins 2 questions: -pour la loi que tu définis sur N x K, c' est une faute de frappe ou bien la loi est vraiment indépendante de n' ?
-quand tu parles de N et K comme sous groupes de N x K, tu veux dire N x {1} et K x {1} ?

( Je préfère poser des questions basiques maintenant pour être sure de bien partir )

[AncMath]

Non, c'est bien une faute de frappe, il faut lire .
La réponse à ta seconde question est oui je veux bien dire qu'on voit et comme les sous groupes et , j'imagine que l'inversion en lieu et place de est une typo.

[slivoc]

Oui, erreur d' inattention de ma part, j' ai été trop vite ! Merci pour vos interventions détaillées, il me semble que cela permet bien de répondre à la question. Même si cela ne semble par permettre ,au premier coup d' œil ou presque, de répondre à la question initiale, mais le fait d' arriver au produit semi-direct de groupes est intéressant. Je vais me pencher sur les 2-3 détails qu' il me reste à voir dès que le temps me le permettra et reviendrai ici si jamais j' ai d' autres questions!
Merci à vous et bonne soirée !

[slivoc]

Bonjour,

J' ai enfin trouvé le temps pour pouvoir m' en ré-occuper. Bon, du coup j' aurai une question, la section s de Pi, doit-elle etre un morphisme comme AncMath l' a précisé, ou bien juste une application (comme Seirios l' a dit) ? Parce que je crois avoir l' isomorphisme entre G et le produit semi direct de G/H X H, mais pour cela j' ai besoin que s soit un morphisme.L' isomorphisme que j' ai trouvé est celui qui va de G/H X H dans G et qui à ([x],h) associe h.s([x])

[AncMath]

Bien sûr que la section doit être un morphisme une section ensembliste existe toujours par l'axiome du choix. C'est pas très contraignant.

D'autre part si alors tu vois bien que la section donnée par est un morphisme de groupes. Autrement dit avoir une section de la suite exacte est une condition nécessaire pour que soit le produit semi-direct . C'est aussi une condition suffisante comme tu sembles l'avoir démontré.

[slivoc]

Excuse-moi, mais je crois que je ne comprends quelque chose: dans ton avant dernière phrase, tu dis que la suite exacte se scinde est une condition nécessaire pour que G soit le produit semi direct de G/N x N, mais comment définit-on ce produit semi-direct si on n' a pas de section ? parce que Seirios l' a défini à l' aide de cette section en définissant l' action de G/H sur H au travers de s. Ce que je veux dire, c' est comment peut on parler du produit semi-direct sans avoir de section de Pi ?

[AncMath]

C'est bien pour cela que je dis que c'est nécessaire. Je m'explique.

Si tu as un sous groupe normal de alors tu as une suite exacte . Alors je dis que SI était le produit semi-direct alors cette suite exact aurait une section. Constuire ne nécéssite qu'une action de sur .

L'existence de cette section est bien une condition nécéssaire à ce que soit, ou soit isomorphe si tu préfères, au produit semi-direct . Autrement dit, si cette suite exacte n'est pas scindé ne pourra être isomorphe à aucun produit semi-direct . Je dis à aucun car "le" produit semi direct dépend de l'action que l'on choisit et on peut obtenir des groupes non isomorphes si l'on prend des actions différentes.

[slivoc]

Effectivement, j' avais oublié qu' il suffisait d' une action "linéaire" pour construire le produit semi-direct ! Par contre je n' arrive pas à construire une section de Pi dans le cas où on sait que G est isomorphe au produit semi-direct G/H x H. J' ai essayé de façon un peu naïve en allant de G/H vers vers G/H x H avec l' inclusion évidente puis vers G avec un un isomorphisme ( disons f: G/H x H -> G ) mais je ne vois pas pourquoi f restreinte à G/H x {1} serait inversible à gauche par Pi ?

[AncMath]

Si tu poses alors est un morphisme et .

[slivoc]

ça oui, mais si on veut scinder Pi:G->G/H ? On sait juste que G est isomorphe à G/H x H. Toi tu ne scindes pas vraiment la suite exacte du début ?

[AncMath]

Ça change rien ! Conjugue toutes tes flèches par ton isomorphisme si tu veux. Je te rappelle que l'isomorphisme préserve le sous groupe normal et . Relis ce que j'avais écrit

On est donc dans la situation précédente et on peut former le produit semi-direct . C'est un autre groupe que a priori. Mais on peut se demander si ne serait pas isomorphe à par un isomorphisme qui induit l'identité sur et vus comme sous groupe de et de .

En général ça n'est pas le cas, mais si les conditions données plus haut sont vérifiées alors ce sera le cas. Tu peux donc identifier et et voir comme le produit semi-direct de par .

[AncMath]

D'ailleurs le fait que soit le produit semi direct n'implique pas du tout que TOUTE suite exacte de la forme soit scindée. Tu peux construire des contre exemple en prenant même un produit direct.

[invite23cdddab]

Au passage, (\rtimes) c'est pas mal pour le produit semi direct

Edit : bon, bah c'est pas géré par l'interpréteur LaTeX de ce forum. Vous pouvez reprendre une activité normale...

[AncMath]

Je vais reprendre mon message de plus haut en espérant dissiper tes doutes.
Prenons un groupe et un sous groupe normal de . Je dirai que est fortement isomorphe au produit semi direct s'il existe un isomorphisme de tel que induit l'indentité sur et . C'est ce que j'ai appelé plus haut "être le produit semi direct".
Je dirai que est faiblement isomorphe à s'il existe simplement un isomorphisme .

Si tu as une suite exacte scindée où la premier flèche est l'inclusion de dans et la seconde la projection. Alors est fortement isomorphe à . La réciproque est vraie.

Maintenant on peut tres bien avoir faiblement isomorphe à sans que l'isomorphisme soit fort. Et donc sans que la suite exacte où la premier flèche est l'inclusion de dans et la seconde la projection soit scindée. Par contre cela impliquera qu'il existe un autre sous groupe de isomorphe à tel que soit fortement isomorphe à . On aura aussi isomorphe à . Et on aura une suite exacte scindée où la premier flèche est l'inclusion de dans et la seconde la projection.

Il ne sera pas toujours possible dans le cas où est faiblement isomorphe à de scinder la suite exacte . Essaie de fabriquer un exemple de ce fait.

Attention la terminologie employée ici "faiblement isomorphe" et "fortement isomorphe", je viens de l'inventer pour les besoin de la discussion. En général quand on dit qu'un groupe est le produit semi direct ou même est isomorphe au produit semi direct on entend "fortement isomorphe". S'il est simplement faiblement isomorphe alors il est fortement isomorphe pour eventuellement d'AUTRES sous groupes eux mêmes isomorphes aux groupes de départ.

[slivoc]

Bonjour,

En fait quand tu disais que G était le produit semi-direct, je le comprenais au sens d' isomorphisme faible, donc je ne voyais pas pourquoi on avait nécessairement une section de la suite si G était le produit semi-direct ! Quand tu dis que f induit l' identité sur G/N, tu veux dire que si x et y sont dans G tq [x]=[y] dans G/N, alors Pi o f(x) = Pi o f(y) = [x] ( où Pi est la projection de G/N x N vers G/N ) ? Si c' est ça, alors cette partie là de la preuve est bonne pour moi. Quant à un exemple de groupe G qui soit faiblement isomorphe à G/N x N mais tq la suite exacte donnée plus haut ne soit pas scnindée, j' y travail encore !

[slivoc]

Bonjour,

Après quelques essais autour des groupes classiques : (C*,x), (R,+), (GLn(R), o), (Z/nZ,+) ..., je n' ai pas réussi à construire un tel exemple. J' ai trouvé des groupes qui n' étaient pas isomorphes au produit, par exemple Q et Q/Z x Z mais pas mieux.
Sinon, aurais-tu quelques références pour que je puisse me familiariser avec les suites exactes et le produit semi-direct ? Sachant que je n' ai pas encore vu en cours les anneaux, modules, corps ... Et que notre programme de cours d' algèbre de cette année était: Première défintions- Relations d' équivalence- Groupes quotient- Actions de groupes- Groupes symmétriques- Groupe & géométrie ( ce sont les titres des chapitres).
Merci beaucoup d' avoir pris le temps de détailler autant tes réponses.

Bonne journée !

[AncMath]

Voici un exemple où ca ne fonctionne pas. Prend et . Alors tu as une suite exacte donnée par où . Cette suite exacte ne se scinde pas car il n'y a aucun morphisme de groupe non nul de . Mais bien sûr est "faiblement isomorphe" à .

Pour les suites exactes, plus tu vas faire de l'algèbre et de la géométrie ou de la topologie ou en fait n'importe quoi plus tu vas en voir un peu partout. Apres tu peux bien sûr regarder un bouquin d'algèbre homologique si tu veux travailler ça indépendamment de tout contexte mais c'est pas très amusant car ça parait très gratuit. Algebra de Lang te présentera toute la théorie en un joli format packagé mais... peu intéressant. Mon conseil : apprend ça au fur à mesure dans des contextes où c'est intéressant : topologie algébrique, géométrie différentielle, géométrie algébrique, ou théorie algébrique des nombres voire classification des groupes ou même théorie de Galois.

Si y a un de ces domaine où tu voudrais en savoir plus, je peux te donner des références adéquates.

Pour le produit semi-direct tu peux regarder des ouvrages parlant de groupes classiques, notamment en lien avec la géométrie des petites classes : isométries, similitudes etc... Par exemple le groupe diédral ou le groupe des transformations affines. Ce sont de bons exemples pour se faire les mains avec des exemples concret de produit semi-direct et jouer un peu avec. Le bouquin de Mneimné-Testard est un excellent bouquin pour ça et pour apprendre énormément de jolie géométrie.

[slivoc]

Si tu as des références pour des documents sur la topologie algébrique je suis preneur! Depuis quelques mois j' ai vraiment envie de m' y mettre ( il y a presque trop de poly sur internet et je ne sais donc où aller)! Et pourquoi pas aussi sur la classification des groupes. Il n' y a pas une version de Algebra de Lang en français par hasard ?

Merci et Bonne journée !