bonjour j'ai un problème avec un exo soit (E,*) un groupe tel que E=]-1,+infini[ et x*y=(xy + x+y-2)/3 montrer que (E,*) et (R+*,multiplication ) sont isomorphes.je n'arrive pas du tout à exhiber un isomorphisme entre ces 2 groupes. merci d'avance pour vos réponses.
Qu'avez vous déjà fait ? Quel est l'élément neutre par exemple ?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
alors voila l'element neutre est tel que x*e=e*x=x ce qui nous donne (xe + x + e - 2)/3=x qui donne e(x +1) + x -2 = 3x d'ou e(x+1)=2(x+1) donc e =2 de meme l'element symetrique est tel que x*x^-1=x^-1*x=e ce qui donne ( xy +x +y -2)/3=2 d'ou y cad x^-1=(8-x)/(x+1) et e=2 c'est l'element neutre de (E,*). de plus f(e)=e' cad f(2)=1 car 1 est l'element neutre de (R+*,x). mais je n'arrive toujours pas à trouver l'isomorphisme. merci d'avance
Perso, j'utilise une "astuce", consistant à supposer (1) que l'isomorphisme est de la forme (ax+b)/(cx+d), soit trois inconnues. L'élément neutre donne une équation, et un raisonnement assez simple en donne deux autres...
(1) Par expérience...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
il y a 4 inconnues pas 3 ???
Trois. Un facteur commun n'importe pas. Je l'écris avec quatre pour ne pas faire d'hypothèse sur un non nul. En pratique on prend c non nul (il y a de bons arguments pour ça!), c=1.
Dernière modification par Amanuensis ; 27/07/2012 à 06h14.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
je comprends pas pourquoi c = 1
Si c=0, on obtient comme hypothèse une fonction linéaire. J'imagine que vous aviez déjà vérifié que ça ne marchait pas ?
Et si c non nul, on peut choisir c=1, et essayer une solution de la forme (ax+b)/(x+d).
L'élément neutre et les deux bornes permettent de fixer les trois inconnues, et il ne reste plus qu'à vérifier.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
comment ça les 2 bornes ???
Vous devez mappersur
Dernière modification par Médiat ; 29/07/2012 à 17h22.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
désolé mais je ne comprends absolument pas ce que vous voulez dire
Si f est votre isomorphisme, f(0) n'existe pas certes, mais vous devez pouvoir dire quelque chose de la limite de f(x) quand x tend vers 0 (la fonction proposée n'est pas n'importe quoi)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je comprends pas f(0) existe ça vaut b/d
Sauf si ...Envoyé par jonh35
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
désolé je comprends toujours pas
Votre affirmation "je comprends pas f(0) existe ça vaut b/d" est fausse ... parfois
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
oui si d= 0 et alors ?
Alors il ne reste que deux inconnues à trouver!
(ax+b)/x donne donc 0 -> infini
L'autre borne donne une équation, l'élément neutre donne une autre équation.
Dernière modification par Amanuensis ; 31/07/2012 à 06h06.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
l'autre borne ?
Comme je trouve cela longuet, voilà les solutions.
Tout d'abord, vous n'avez pas répondu à la question si vous aviez cherché une solution linéaire en E-->R : x --> ax+b. La réponse doit être non, parce qu'il y en a une.
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Revenons à celle en b/(x-a) [Attention, j'utilise l'inverse, la fonction de E --> R ; et u = b/(x-a) <=> x =(au+b)/u]
Elle envoie l'infini en 0, comme on l'a déjà vu.
L'autre borne est telle que -1 doit être envoyé sur l'infini, donc -1-a=0, soit a=-1, on a donc x-->b/(x+1)
L'élément neutre 2 doit être envoyé sur 1, d'où b=3.
Une solution potentielle est donc x --> 3/(x+1), je vous laisse vérifier que cela marche.
En prenant en compte les automorphismes de R+*, on trouve comme isomorphismes tous les
Dernière modification par Amanuensis ; 04/08/2012 à 08h12.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
Interprétation géométrique :
On peut donc récrire la loi de groupe sous la forme :
ou encore :
soit, en notant
L'application
je ne comprends pas pourriez vous ré expliquez plus clairement depuis le début svp
quelqu'un ?
Bonjour,
Je ne vois pas de difficulté pour comprendre le calcul que j'ai présenté:
soit, en notant
et on obtient un un morphisme entre les deux groupes.
désolé je voulais parler des explications de amanuensis
ce sont ses explications que je ne comprends pas
si quelqu'un pouvais me l'expliquer.merci d'avance
Je vais reprendre à zéro, mais en visant la solution linéaire.
Un isomorphisme tel que recherché doit envoyer (en prenant une limite le cas échéant) les deux bornes de E, -1 et infini, sur les deux bornes de R+*, 0 et infini.
Et il doit envoyer l'élément neutre de E, 2, sur l'élément neutre de R+*, 1.
Supposons qu'il existe un isomorphisme E-->R+* de la forme f: x-->ax+b,
on doit alors soit (lim f(x) à l'infini = infini et limite f(x) en -1 =0), soit ((lim f(x) à l'infini = 0 et limite f(x) en -1 = infini)
comme on cherche une fonction linéaire, c'est le premier cas, et lim f(x) à l'infini = infini est vérifié si a>0
on a donc deux équations, f(2)=1 et f(-1)=0, soit 2a+b=1 et -a+b=0, d'où on tire a=b=1/3
La solution candidate est x-->(x+1)/3
On vérifie que cela marche...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
merci beaucoup j'ai vérifié ça marche et j'ai bien compris.merci
