Modélisation d´une courbe expérimentale

[invite651b6bae]

Bonjour,
Je réalise une expérience qui me donne une fonction distance= f(Température).
J´obtiens une courbe dont je dois faire une modélisation par une ou plusieurs fonctions mathématiques (j´y arrive en pratique par une fonctions par morceau, donc 4 fonctions). J´ai réalisé cette modélisation avec excel, mais j´ai un doute sur les résultats.

Existe-t-il un test me permetant de savoir si les valeurs théoriques (par les fonctions) sont suffisamment proches des valeurs expérimentales pour pouvoir être utilisées?

Merci d´avance
-----

[NicoEnac]

Bonjour,

Tout d'abord les polynômes fournissent de bonnes estimations pour des courbes qu'on suppose continues.

Sinon je n'ai pas bien compris votre problème : vous obtenez des couples (Température, distance) que vous reportez sur un graphique et vous voulez obtenir une fonction permettant d'extrapoler les résultats expérimentaux et de pouvoir calculer la distance pour n'importe quelle température.

Un moyen de vérifier le comportement est...de vérifier qu'en appliquant la fonction aux différentes températures relevées, vous obtenez la distance effectivement relevée lors des tests. Mais selon moi ce procédé se mord la queue car vous avez choisi la fonction grâce à ces points...

Pouvez-vous être un peu plus précis dans votre problème ?

[invite651b6bae]

En réálité, mon problème est que je trouve des différences entre les valeurs que j´ai relevées et les valeurs que j´obtiens avec ma courbe. Ce sont des différences en apparence assez faible, mais qui nuissent beaucoup à la précision de la suite de mon travail.
Pour des valeurs faibles, j´arrive à des différences de plus de 25% entre les deux valeurs. C´est pour ça que je n´ai pas confiance dans cette modélisation, et je voudrais savoir s´il existe un autre moyen de la réaliser.

[NicoEnac]

C'est là que je ne comprends pas : pour n points de données, il existe un polynôme de degré n passant par ces n points et pour lequel si on calcule P(point expérimental), on obtient exactement les valeurs trouvées expérimentalement.

Pour mieux comprendre ton problème, pourrais-tu indiquer l'environnement de ta modélisation ? Expérience chimique, mécanique, statistique, etc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

pour n points de données, il existe un polynôme de degré n passant par ces n points et pour lequel si on calcule P(point expérimental), on obtient exactement les valeurs trouvées expérimentalement.

Pinaillage : Le polynôme d'interpolation de Lagrange est de degré .

[NicoEnac]

Pinaillage : Le polynôme d'interpolation de Lagrange est de degré .

Non, non ce n'est pas du pinaillage, c'est une faute grossière. Désolé d'avoir dit une chose aussi moche...

[invitea07f6506]

Et, de toutes façons, utiliser les polynômes de Lagrange pour modéliser une courbe expérimental, c'est le truc à ne pas faire. Il va coller parfaitement aux observations, mais hors de ces observations, il risque d'osciller tellement vite qu'il n'a à peu près aucune chance de coïncider avec la courbe "réelle". C'est ce qui se passe quand il y a trop de paramètres par rapport au nombre d'observations... Et, au final, si on réalise de nouveles observations, la suite des polynômes obtenus ne converge pas (ce qui est plutôt gênant).

Avant tout, il faut poser un modèle, c'est-à-dire un ensemble de fonctions dans lequel tu aimerais trouver celle modélisant la courbe expérimentale. Si possible, un espace vectoriel (ça facilite pas mal les choses). Et, si on veut ne pas trop avoir de dificultés, de dimension finie.

[NicoEnac]

C'est vrai qu'un polynôme est plutôt pratique pour extrapoler des résultats proches de ceux qu'on a déjà trouvés. Néanmoins tout dépend de l'utilisation qu'on en fait. Si effectivement on cherche à trouver des résultats aux limites et loin des points d'observation, qu'on ait extrapolé avec un polynôme ou autre chose, on ne peut être sûr du résultat obtenu.

[invitea07f6506]

Quand je dis "hors des observations", c'est en tout point qui n'est pas un point d'observation : non seulement "loin" de celles-ci, mais aussi entre celles-ci.

Par exemple, si la courbe théorique est une droite, mais que les points expérimentaux sont légèrement décalés (erreurs expérimentales, toussa), le polynôme va avoir tendanc à "osciller" plus ou moins violemment, et donc à être à des lieues de la courbe théorique même entre les points expérimentaux.
Tu peux facilement faire ça sous Maple (ou autre logiciel du genre), si tu veux voir le type de courbes que l'on obtient.

Bref, un polynôme d'interpolation ne va rien prédire d'adéquat hors des points expérimentaux... Par ailleurs, c'est une erreur profonde que de modéliser quelque chose avec un modèle sur-déteminé (i.e. avec un nombre de variables de l'ordre du nombre d'observations).

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

une interpolation par des polynômes n'a pas d'intérêt ici à mon avis (je suis d'accord avec Garf) : notamment à cause des oscillations du polynôme entre les observations dès que le nombre d'opérations est grand.

une interpolation par des splines peut être intéressante aussi : cela permet d'éviter les oscillations tout en collant parfaitement aux observations.

pourquoi pas une méthode de régression ? bien sûr, la courbe obtenue ne collera pas parfaitement aux observations. Mais pour faire cela, il faut avoir un modèle (régression linéaire, polynomiale, et il y a bien d'autres choix encore).


Romain

[invite01e0f157]

Bonjour à tous et à toutes
J'ai trouvé deux méthodes nouvelles et révolutionnaires d'extrapolation de courbe de donnée à une variable pour l'instant. Pour l 'un edes 2 il s'agit de tester des combinaisons de fonctions séléctionnées selon la méthode traditionnelle de la somme des différences des carrés des écarts de la courbe réelle à celle supposéevraie. Cela dépend du nombre de données de l'échantillon de départ qui fixe le nombre de variables-paramètres et sachant que toute fonction peut se décomposer en une paire et une impaire uniques dont on réalisera les choix et les combinaison possibles pour le test en commençant par le splus simples.

[GrisBleu]

Bonjour

Avant de révolutionner ce domaine (déjà vieux), tu pourrais essayer des choses simples:
+ Les moindres carrés si tu as déjà un modèle en tête (http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...es_carr%C3%A9s)
+ d'autres choses plus complexes comme les SVM (http://fr.wikipedia.org/wiki/Machine...:_Kernel_trick)
A+

[invite63e767fa]

Bonjour,

Si tu envisages d'optimiser une combinaison de fonctions de telle sorte que la fonction obtenue soit "assez proche" des points donnés, tu trouveras de nombreuses références avec le mot clef "régression".
Entre autres, un petit article (et qui n'a rien de révolutionnaire) :
"Régressions coniques, quadriques, circulaire, sphérique,..."
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents