Processus de poisson

[estelle001]

Bonjour a tous,
Je suis etudiante en 3ème année d'école d’ingénieur, je n'ai pas suivie une formation, via bac s, et j’éprouve du coup les pires difficultés en maths.
Notre professeur nous a posé le problème suivant

Des voitures arrivent à un poste de péage selon un processus de poisson avec une moyenne de 90 voitures par heure.
Le temps moyen de passage à ce poste est de 38 secondes. Les automobilistes se plaignent de longues attentes à ce poste
Les autorités locales désirent réduire le temps de passage à 30 secondes en installant un nouveau dispositif automatique.
Mais cette modification sera justifiée seulement si, sous l'ancien système, le nombre moyen de voitures dans la file dépasse 5.
De plus, le pourcentage de temps creux (c'est à dire sans voiture) sous le nouveau système ne devrait pas excéder 10%
Le nouveau dispositif peut-il être justifié ?

J'ignore si je suis au bonne endroit pour poster.
Serait-il possible de m'aider ?

D'avance merci
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

On ne peux pas attendre du forum de refaire tout un cours.

Le problème est une application directe des formules pour une file d'attente MD1 (arrivées selon un processus de Poisson, durée de service déterminée, un serveur), ou peut-être MM1 (l'énoncé n'est pas clair). Faut aller chercher, trouver, lire et comprendre un cours de base sur la théorie des files d'attente, celles de base étant les MM1 et MD1.

[estelle001]

Bonjour,
Merci pour Votre réponse,pourriez vous néanmoins m'indiquer si je suis dans le vrai.

J'ai noté N(t) le processus de poisson
Tn 'linstant du nieme passage au péage
Sn=tn-tn-1 le temp d'attente entre deux passage
Du coup l'énoncé se modélise comme suit
E(N(3600))=90 (une heure vaut 3600 secondes)
E(Sn)=38 puis ont cherche Sn tel que E(sn)=30
pour cela,il faut neanmoins que E(N(t-s))>5 avec t-s<38
c'est par la suite que les choses se gate,je ne comprend pas a quoi correspond les 10% (10%de quoi)
et en quoi cela peu nous permettre de conclure?

Cordialement

Estelle

[Amanuensis]

J'ai noté N(t) le processus de poisson
Tn 'linstant du nieme passage au péage
Sn=tn-tn-1 le temp d'attente entre deux passage

Le processus de Poisson est celui des arrivées, pas des passages (entre l'instant d'arrivée et l'instant de passage il y a le temps d'attente, éventuellement nul si la queue est vide, mais non nul sinon). Donc:

Tn 'linstant deu nieme arrivée au péage
Sn=tn-tn-1 la durée entre les deux arrivées

E(N(3600))=90 (une heure vaut 3600 secondes)

Plutôt: durée moyenne entre arrivées 3600/90 secondes

E(Sn)=38 puis ont cherche Sn tel que E(sn)=30

Non, pas du tout. Question venant d'une mauvaise compréhension de la différence entre instant d'arrivée et instant de passage au poste.

c'est par la suite que les choses se gate,je ne comprend pas a quoi correspond les 10% (10%de quoi)

10% du temps pendant lequel aucun automobiliste n'est servi. C'est le pourcentage du temps où la machine se tourne les pouces.

[A voir en vidéo sur Futura]

[estelle001]

Merci pour ces eclaircissements

[estelle001]

Bonsoir,
Voila,pour tenter de resoudre ce probleme,je me suis basé sur un modele de type md1,en utlisant la loi de Little.
donc soit N le nombre moyen de voiture dans le systeme dans le systeme,s l'intensite et T le temp moyen dans le systeme
alors d'apres little N=sT.
De plus,si je note Nf le nombre moyen de voiture dans la file d'attente,et Tf le temp moyen dans cette meme file d'attent, Nf=sTf et d'pres l'énoncé Nf>5 donc Tf>5/s comme ici s=90,nous avons:Tf>1/18. (soit un peu pres 3 minute 20)
Vu qu'il n'y a qu'un peage le T >38 +220=3minute 58 seconde

Cependant,je ne parviens pas a resoudre ce probleme en Md1 (je ne vois pas comment trouver les temps moyen avec la moyenne de 30 secondes et je ne parviens pas a interpreter les 10%)

je vais tenter avec mm1 et mm1n

[estelle001]

Bonsoir 'Jai appliqué le model M/M/1
j'ai posé
Nt le nombre de voiture dans la file
Wt le temp dans la file
Le temp de service peu etre modelisé par une loi exponentielle de parametre µ=3600/38
et les instant d'arrive' par un processus de poisson de Parametre s= 90.
Ici ont trouve E(Nt)=19 >5 ,et
d’après le le temps d'attente moyen est E(Wt)+1/µ=1/(µ-s) 12min40s

pour le modele automatisé,nous obtenons,avec µ=120,E(Wt)+/µ=1/(µ-s) soit 2 min

le gains de temps me parait considérable,et le deuxième problème,et que je ne parviens pas a modeliser les temps creux.

Cordialement
Estelle

[Amanuensis]

90 voitures par heure, cela fait une toute les 40 secondes en moyenne. Avec un temps de service de 38 s on est très près de la saturation, donc on peut s'attendre à des durées d'attente importantes. Et on peut aussi anticiper que passer de 38 à 30 secondes de service doit amener une nette amélioration.

Pour le temps creux, il me semble que c'est assez trivial! Si pendant une heure le système sert 90 voitures pendant 30 secondes chacune, quelle est la durée d'occupation?

[estelle001]

en effet nous aurons 45 min d'occupation,et donc,15 min de temps creux
merci