Processus de Poisson

[inviteeebb1e27]

Bonjour, Je suis bloqué dans cette exercice.

Soit (N(t))t>=0 un processus de Poisson d'intensité L. Alors, pour tout t>=0, N(t) suit une loi de poisson de paramètre L*t.
Soit donc t>0. Pour estimer P(N(t)=k), on choisit n un entier plus grand que k et on découpe l'intervalle de temps [0,t] en n sous-intervalles:
I1=]0,t1], I2=]t1,t2], ..., In=]tn-1,tn], ou ti= (i*t)/n.

1/ Montrer que P(N(t)=k)= P(A) + P(B), ou

A= il y a exactement une occurence dans k intervalles Ij et zéro occurences dans les n-k autres
et
B= N(t)=k et il y au moins 2 occurences dans un des intervalles Ij

Merci d'avance à tout ceux qui pourront m'aider.
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[invite06b993d0]

salut,

tu dis que N(t) suit la loi de Poisson de paramètre Lt et ensuite tu dis que tu veux estimer P(N(t)=k) mais tu sais déjà que c'est exp(-Lt)(Lt)^k/k! ça n'a pas de sens.

[inviteeebb1e27]

Salut Mehoul,

Je me suis mal exprimé,

On veut prouver le théorème suivant:
Soit (N(t))t>=0 un processus de Poisson d'intensité L. Alors, pour tout t>=0, N(t) suit une loi de poisson de paramètre L*t.


Soit donc t>0. Pour estimer P(N(t)=k), on choisit n un entier plus grand que k et on découpe l'intervalle de temps [0,t] en n sous-intervalles:
I1=]0,t1], I2=]t1,t2], ..., In=]tn-1,tn], ou ti= (i*t)/n.

1/ Montrer que P(N(t)=k)= P(A) + P(B), ou

A= il y a exactement une occurence dans k intervalles Ij et zéro occurences dans les n-k autres
et
B= N(t)=k et il y au moins 2 occurences dans un des intervalles Ij

[invite06b993d0]

tu le définis comment ton processus de Poisson? comme un processus de renouvellement avec des intervalles exponentiels? ou via le générateur infinitésimal?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeebb1e27]

je te publie l'énoncé en entier


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[invite06b993d0]

ah, c'est bien la formulation infinitésimale. On n'est absolument pas obligé d'utiliser cette technique (affreuse à mon goût) de découpage d'intervalles, mais quoi qu'il en soit, la question a) est triviale: les événements A et B sont disjoints et l'un des deux est réalisé si N(t)=k puisqu'il faut bien que les k points du processus tombent dans l'un ou l'autre des n sous-intervalles.

[inviteeebb1e27]

Je ne vois pas comment partir peux tu m'en dire un peu plus.