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Processus de poisson



  1. #1
    Le Vince

    Processus de poisson


    ------

    Bonjour,

    Je suis devant l'exercice suivant et je tombe sur une réponse qui me paraît complètement absurde :


    "Supposez que vous vouliez traverser une route à un endroit où les voitures passent suivant un processus de poisson de taux A.
    Votre stratégie est la suivante : vous commencez à traverser la route la prochaine fois que vous verrez qu'aucune voiture ne passera durant les prochaines c unités de temps. Notons par N le nombre de voitures qui passent devant vous avant que vous ne traversiez.

    Calculer E[N]."


    J'ai fait la chose suivante :

    E[N] = somme pour k = 0 jusque l'infini de k*P(N=k)
    (N est bel et bien de loi discrête? oui car peut prendre au plus un nombre dénombrable de valeur)

    Or P(N=k) = P(Tn - Tn-1 < c) = P(Wn < c)
    où Tn est l'instant du passage de la nième voiture, et Wn l'instant séparant le passage de deux voitures.

    Comme le passage de voiture suit un processus de poisson, on sait que Wn suit une loi exp(A).
    et donc notre espérance devient :

    E[N] = somme pour k = 0 jusque l'infini de k* (1-exp(Ac))

    mais pour moi cette série diverge, et donc on aurait un nombre moyen de voiture qui passe avant que l'on puisse traverser qui voudrait l'infini.... cela semble vraiment bizarre, mon raisonnement doit être foireux, mais je ne trouve pas le hic


    Merci

    -----

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  4. #2
    Romain-des-Bois

    Re : Processus de poisson

    Bonjour,

    ton erreur est dans la loi de :

    Notons les instants de saut du processus de Poisson.

    : j'attends le temps , aucune voiture n'est passée (puisque la première passe à l'instant ) et je traverse.

    : la première voiture est passée avant le temps et au bout du temps la deuxième n'est pas encore passée.

    Ainsi de suite,

    On peut ensuite utiliser l'indépendance des inter jumping times pour écrire :


    Puis utiliser le fait que la loi de est une exponentielle de paramètre pour avoir finalement :
    à vue de nez.

    Bref, suit une loi géométrique dont le paramètre est facile à expliciter.

  5. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Processus de poisson

    Petit ajout... j'ai oublié de donner l'espérance (et c'était la question initiale).

    (l'espérance d'une loi géométrique est l'inverse du paramètre)
    donc

  6. #4
    Le Vince

    Re : Processus de poisson

    Merci pour la clareté de ta réponse!

  7. A voir en vidéo sur Futura

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