Inégalité entre fonction intégrable Riemann et fonctions en escalier

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'essaie de démontrer que , avec une fonction intégrable Riemann sur .

J'ai fait le raisonnement suivant, et j'aimerais savoir s'il est bien correct, ou bien s'il y a quelques (en espérant pas plus ) imperfections :

On montre d'abord que la limite est nulle pour une fonction en escalier f. Par définition, il existe une subdivision sur où f est constante ; nous pouvons alors écrire : .

Notons et , puis les fonctions et .

Il existe une subdivision sur telle que , d'où (si , mais si ce n'est pas le cas, il suffit d'inverser les symboles d'inégalité, sans que cela ne change pour autant le résultat) ; puisque h et g sont des fonctions en escalier, on a .

Ce raisonnement vous paraît-il correct ?

Merci d'avance
Phys2
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

si j'ai bien compris, ton idée consiste simplement à encadrer par deux fonctions en escalier et .

(Si c'est cela, la définition des et des n'est pas tout à fait la bonne erreur de frappe sans doute.)

Bref, si est seulement Riemann-intégrable, ta preuve n'est pas suffisante.
On peut penser à une fonction qui tend vers l'infini en suffisamment lentement pour que l'intégrale soit définie.

[invitec1ddcf27]

Salut,

pour une fonction continue sur [0, pi], ce résultat est évident. franchement avec des fonctions "Riemman-intégrable" ...


" si , mais si ce n'est pas le cas, il suffit d'inverser les symboles d'inégalité, sans que cela ne change pour autant le résultat " : cela ne peut rien dire, ton sin(lambda x) va changer de signe une infinité de fois, tu va pas changer ton inégalité une infinité de fois. Par contre, tu peux majorer phi en valeur absolue par le max de |h| ou |g| sur chacun des intervalles de la subdivion, ce qui reste une fonction en escalier.

Ceci dit, je suis pas sur que le "il existe une subdivision telle que... " soit vraie. Et si c vrai c la seule chose difficile de cette preuve. Souvent , on construit l'intégrale de Riemann pour les fonctions continues (par morceaux éventuellement). Après Riemann intégrable, il faudrait une définition précise dont je ne me souviens pas. Et il faudrait vérifier que la densité des fonctions en escalier dans l'espace des fonctions R-int est encore vraie. Et si tel est le cas, le plus simple est d'écrire, il existe une suite de fonction (e_n) en escalier qui tend vers phi simplement, et passer à la limite sous l'intégrale.

[invitec1ddcf27]

Par ailleurs ce résultat est souvent appelé "lemme de Riemann-Lebesgue". Et il est évident pour des fontions C^1, pas C^0 (autant pour moi)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Ceci dit, je suis pas sur que le "il existe une subdivision telle que... " soit vraie.

Beh non, ce n'est pas vrai (si ça l'était, la preuve serait correcte). Il suffit de voir mon message précédent... ou pour, être plus précis, considérer par exemple l'application définie sur par et pour , .

Une solution est de considérer une suite tendant vers et d'appliquer le théorème de convergence dominée⁽¹⁾ à la suite de fonctions définie par, pour tout , , .

(1) : Il s'applique très simplement ici, grâce à l'hypothèse intégrable.

[invitea250c65c]

Salut Phys2 !

Je te propose une démo sans le théorème de convergence dominée (hors programme de sup).

Soient , continue par morceaux (ie intégrable Rieman) et .

On a vu que dans le cas où est en escalier.

Soit fixé. Montrons que à partir d'un certain rang.
étant continue par morceaux, il existe une application en escalier sur telle que (voir la fin de la preuve pour comprendre pourquoi une telle valeur).
Alors, .
Or .
De plus, la deuxième intégrale tend vers 0 (car est en escalier) donc il existe un rang à partir duquel .
Et donc pour tout .
Ceci étant valable pour tout , tend finalement vers 0.

Désolé j'ai un peu changé tes notations mais j'avais commencé comme ça sur mon brouillon et j'avais la flemme de rechanger .

J'espère avoir pu t'aider.

[Seirios]

Soit continue par morceaux (ie intégrable Rieman)

Mais toutes les fonctions intégrables Riemann ne sont pas nécessairement continues par morceaux, non ? L'exemple donné par Romain-des-Bois ne me semble pas être continu par morceaux. De plus, mon raisonnement doit être vérifié pour une fonction continue par morceaux. Je me trompe ?

[Seirios]

Bref, si est seulement Riemann-intégrable, ta preuve n'est pas suffisante.
On peut penser à une fonction qui tend vers l'infini en suffisamment lentement pour que l'intégrale soit définie.

Effectivement ; j'avais trouvé cette question dans un livre qui proposait une démonstration plus complexe que celle-ci, alors cela m'étonnait que ma solution, plus simple, puisse fonctionner.

pour une fonction continue sur [0, pi], ce résultat est évident. franchement avec des fonctions "Riemman-intégrable" ...

Pour une fonction continue sur , ne peut-on pas dire qu'elle est également bornée sur le même intervalle ? (et dans ce cas la limite est facilement trouvable par encadrement)

[invitec1ddcf27]

Eh bien, si f est seulement continue, tu peut l'encadrer par son min et son max sur [0, pi]... mais je vois pas comment encadrer ton intégrale puisque le sin change de signe (même remarque que plus haut).

Si f est C^1, en intégrant par parties :



et ce truc tend vers zéro lorsque puisque f'(t)cos( ) est borné...

Sinon, il était temps que l'on sache de quoi on parle. La définition d'une fonction Riemann-intégrable (celle du Liret-Martinais du moins) : f est R-I ssi pour tout eps> 0 , il existe u,U deux fonctions en escaliers telles que



Esseye d'adapter un peu ce qu'à fait Electrofred pour une fontion continue par morceaux

[invitec1ddcf27]

Pour adapter on écrit que (je garde les notations de la définition de mon message précédent) :



Le sort du second terme est réglé. Pour le premier, on remarque que



et la rédaction est la même que ce qu'à fait Electrofred (que je remercie d'avoir donné l'astuce technique de la preuve). Sauf erreur de ma part le problème est résolu

[invitec1ddcf27]

Une remarque : l'exemple donné par Romain-des-Bois m'a posé un cas de conscience sur la définition de Riemann-intégrable que j'ai donnée ici. Puisque suivant cette définition, une fonction Riemann intégrable est bornée, ce qui n'est pas le cas de sa fonction, dont on a l'usage de dire (au moment des int généralisée) qu'elle est intégrable....

J'ai donc ouvert un second bouquin (cours complet L2 de Ramis Warusfel - très bon livre au demeurant). Et alors le chapitre Intégration sur un segment comporte deux construtions de l'intégrable : une au sens de Riemann et une au sens de Henstock-Kurzweil. Et la fonction de Romains-des-Bois est justement cité comme comme exemple de fonction non Riemann-intégrable mais intégrable au sens de Henstock-Kurzweil.

Bon, tout cela pour dire que cette intégrale pour les enfants est bien casse bonbon, car il y a bcp de moyen de construire des théories voisines... mais qui coincident pour les fonctions continues par morceaux. Autant se limiter à ces seuls fonctions si on ne souhaite pas s'embarquer dans des galères de définition !! C'est d'ailleurs ce qui est fait dans l'enseignement (prépa et fac)... Et pour les résultats théoriques, vive l'intégrale de Lebesgue.

[Seirios]

D'accord, merci à vous trois