Fonction integrable.

[invited776e97c]

Bonjour ,

Hier , j'ai été pris d'un doute , est ce qu'une fonction integrable sur [a;+inf[ admet une limite finie en +inf ?
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[invite7ffe9b6a]

On entend il me semble par "f est integrable sur [a;+inf["

[invited776e97c]

Et donc ? Elle admet une limite finie ?

En fait je m'etais jamais posé le probleme graphiquement.

[invite5ad8e560]

Ça dépend si tu impose la continuité ou pas .

exemple : f = 1/x^2 est intégrable sur [1 +inf]

tu prend g(n) = 1 pour les entiers et g(x) = f(x) sinon

g est intégrable , mais lim(g(x)) n'est pas défini

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

J'avais mal lu ta question, le fait que la fonction prenne en quelques valeurs discretes + l'infini ne change pas sont integrales (de lebesgue)

[invite5ad8e560]

Salut Antho07,
la definition de l'integrabilité est que int(|f|) soit fini, comme t'as ecrit en haut.
sin(x) n'est pas integrable.

[invited776e97c]

Ça dépend si tu impose la continuité ou pas .

exemple : f = 1/x^2 est intégrable sur [1 +inf]

tu prend g(n) = 1 pour les entiers et g(x) = f(x) sinon

g est intégrable , mais lim(g(x)) n'est pas défini

Oui on impose une continuité . Sinon en effet on peut trouver des cpm faisant l'affaire .
Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est comment des fonctions tel lnx ou d'autre peuvent etre integrable sur par exemple ]0;1] , alors que graphiquement , on voit tres bien que l'aire tend vers l'infini .

[invite7ffe9b6a]

Salut Antho07,
la definition de l'integrabilité est que int(|f|) soit fini, comme t'as ecrit en haut.
sin(x) n'est pas integrable.

salut, oui j'ai supprimé ce message m'en étant rendu compte juste apres l'avoir posté, merci de la confirmation

[invite5ad8e560]

Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est comment des fonctions tel lnx ou d'autre peuvent etre integrable sur par exemple ]0;1] , alors que graphiquement , on voit tres bien que l'aire tend vers l'infini .

Justement l'air ne tend pas vers +inf ! (c'est le périmètre qui est infini)
Regarde et au voisignage de zero
La premiere est integrable, la 2eme non.
Graphiquement cela veut dire que pour l'aire entre l'axe des y et la courbe est fini, alors que pour le 2eme cas, cet air est infini.
C'est pour la meme raison que est intégrable en +inf alors que ne l'est pas (en symétrisant par rapport à y=x)

[invitec317278e]

Oui on impose une continuité . Sinon en effet on peut trouver des cpm faisant l'affaire .
Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est comment des fonctions tel lnx ou d'autre peuvent etre integrable sur par exemple ]0;1] , alors que graphiquement , on voit tres bien que l'aire tend vers l'infini .

Pour le logarithme, on peut "montrer" graphiquement (moyennant une approximation) que l'aire Est finie, de manière assez simple.
En fait, ça tient essentiellement au fait que la somme des inverses des puissances de 2 tend vers une limite finie
(1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+...).
Décomposons l'aire dont on cherche la valeur en sortes de petits trapèzes, dont les côtés parallèles sont les côtés horizontaux. Un des côtés "verticaux" sera un bout de l'axe des ordonnées, et l'autre, pas vraiment vertical, sera un bout de la courbe du logarithme (qu'on peut approximer à une droite, quand on descend assez bas).
Histoire de fixer les idées, disons qu'on s'arrange pour que la hauteur du trapèze soit de 1. (donc le segment de l'axe des ordonnées qui sert de côté vertical est de longueur 1).

on prend un de ces petits trapèzes au pif, de préférence assez bas, pour que la courbe du logarithme soit localement approximable à une droite.
j'appelle x la longueur du grand côté du trapèze parallèle à l'axe des abscisses. (celui qui est le plus en haut des deux, quoi).

Alors, on obtient facilement que la longueur du côté du trapèze qui lui est parallèle est de longueur x/e.
a partir de là, on applique la formule de l'aire d'un trapèze, et on obtient donc que l'aire de celui ci est (x+(x/e))/2. J'appelle A cette aire.

Maintenant, on calcule l'aire du trapèze qui est juste au dessous de celui ci. La longueur qui était x sur l'autre trapèze devient alors x/e, et celle qui était x/e sur l'autre est ici x/e².
L'aire de ce trapèze est ((x/e)+(x/e²))/2, j'appelle B cette aire.

On remarque que A=e*B
si on prend maintenant le trapèze qui est encore en dessous de celui ci, dont j'appelle C l'aire, on remarque que A=e²*C.

Alors, si on additionne maintenant toutes les aires de tous ces petits trapèzes, on a A+B+C+D+...=A+ A/e + A/e² + A/(e^3) + ... = A*(1+ 1/e + 1/e² + 1/e^3 + ...)

Or, comme e>2, on a 1/e < 1/2, et par suite :
(1+ 1/e + 1/e² + 1/e^3 + ...) < (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)
Or (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) est fini, car la somme des inverses des puissances de 2 converge.
Donc, la somme des aires des petits trapèzes converge aussi !

Autrement dit, l'aire sous la courbe du logarithme, quand on approche de 0, converge aussi !

[invitec317278e]

http://img395.imageshack.us/my.php?image=trapkd0.jpg
( lien direct : http://img395.imageshack.us/img395/7178/trapkd0.jpg )

Et voilà une image pour illustrer ce dont je parle.

Le premier trapèze dont je parle est en rouge, le deuxième est en jaune.



Ce que je voulais montrer avec ce raisonnement est que pour le logarithme du moins, tu peux ramener ton problème d'aire infinie au problème de la limite de en l'infini : intuitivement, on pourrait se dire qu'une somme infinie ne peut qu'être infinie, mais en fait non, celle ci converge.

[invited776e97c]

Merci pour l'explication graphique , c'etait exactement mon problème.

[invitec317278e]

J'avais peur de m'être lancé dans un charabia incompréhensible, mais apparemment, non ; tant mieux.

[inviteea7bf02f]

bonjour j'ai un problème pour résoudre une équation trigonométrique, pouvez-vous m'aider svp

[inviteea7bf02f]

sin(3x+pi/6)-cos(x-pi/3) = 0

[invite5ad8e560]

vinceclo, il fait créer une nouvelle discussion avec ton problème, sinon personne n'y prêtera attention