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Fonction intégrable sur R



  1. #1
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Question Fonction intégrable sur R


    ------

    Bonjour, je me demandais si pour toute fonction f intégrable, continue et de classe les fonctions dérivées étaient toutes intégrables sur .
    Car par exemple pour la dérivée première on a :

    (Les limites valent 0 car f est intégrable sur , ce qui montre l'existence de l'intégrale)
    (j'aurai peut être du couper à zéro ou à tout autre nombre pour que ce soit plus propre ?)

    -----

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  3. #2
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Fonction intégrable sur R

    Une autre question aussi, j'ai par exemple :
    exp(i*x) que multiplie une fonction tendant vers 0 en +infini. Ai-je le droit de dire que la fonction produit tend vers 0 ? Car x->exp(i*x) n'admet pas de limite en +infini, je sais plus si on a le droit de dire direct que ca fait 0 (je crois que oui, car le module est égal à 1)

  4. #3
    µµtt

    Re : Fonction intégrable sur R

    Salut,


    Une fonction intégrable sur IR n'admet pas forcément de limite en +oo (bien sûr SI la limite existe elle est forcément nulle).

  5. #4
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Fonction intégrable sur R

    Je n'arrive pas à voir de contre exemple...
    Si on dit qu'elle est intégrable et continue, c'est bien que la limite existe non ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    erik

    Re : Fonction intégrable sur R

    La fonction f(x)=cos(x²) est intégrable sur [1, +inf[ et ne tend pas vers 0 à l'infini.

  8. #6
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Fonction intégrable sur R

    Oui mais [1;+infini[, c'est pas R...
    En plus je pense pas qu'on puisse bricoler une fonction pour que ca marche, car f doit être sur R.
    Qu'en penses-tu ?

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  10. #7
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Fonction intégrable sur R

    Nan en fait t'as raison, cos(x²) est bien intégrable sur R...
    (mais est impossible à représenter )
    Dernière modification par Ayrawhsia Aathsir Tia ; 25/02/2006 à 15h19.

  11. #8
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Fonction intégrable sur R

    C'est vraiment bizarre, car avec les séries, ce qui est sous le symbole sigma tend toujours vers 0 si la série converge (c'est une condition nécessaire)..Donc je pensais que c'était pareil !

  12. #9
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Unhappy Re : Fonction intégrable sur R

    Bon alors je suis bien embêté pour montrer que j'ai un truc qui tend vers 0 ! (et je suis sûr à 100% qu'il tend vers 0) lorsque a tend vers -infini et b tend vers +infini (variable x, ca provient en fait d'une intégration par parties):

    .
    Je pensais que c'était nul car chaque dérivée de f tendait vers 0. Donc il doit y avoir une autre raison, peut être des compensations...

  13. #10
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Re : Fonction intégrable sur R

    Non en fait c'est pas des compensations
    Mais l'exemple avec cos(x²) remet tout en cause ! Le crochet tend vers 0 effectivement, mais c'est une forme indéterminée à première vue, et je sais pas comment lever l'indétermination..

  14. #11
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Unhappy Re : Fonction intégrable sur R

    Bon alors, en fait le problème c'est ici

    Je n'arrive pas à finir la question 2.a. Je m'explique j'arrive bien à trouvé que la dérivée j-ième de la transformée de fourier de f s'écrit comme la transformée de fourier d'un élément, mais impossible de montrer que cet élément appartient à S.
    Et même si j'admet que ca appartient à S, la déduction demandée dans la question 2.b, j'y arrive pas.
    Bon déja j'ai pour la question 1:


    Ensuite pour le début de la question 2.a je trouve :


    L'élément est donc :


    Voilà, si quelqu'un voit quelque chose...

  15. #12
    Ayrawhsia Aathsir Tia

    Talking Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par erik
    La fonction f(x)=cos(x²) est intégrable sur [1, +inf[ et ne tend pas vers 0 à l'infini.
    En fait c'est faux, cette fonction est semi-convergente

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