Fonction intégrable sur R

[invitea87a1dd7]

Bonjour, je me demandais si pour toute fonction f intégrable, continue et de classe les fonctions dérivées étaient toutes intégrables sur .
Car par exemple pour la dérivée première on a :

(Les limites valent 0 car f est intégrable sur , ce qui montre l'existence de l'intégrale)
(j'aurai peut être du couper à zéro ou à tout autre nombre pour que ce soit plus propre ?)
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[invitea87a1dd7]

Une autre question aussi, j'ai par exemple :
exp(i*x) que multiplie une fonction tendant vers 0 en +infini. Ai-je le droit de dire que la fonction produit tend vers 0 ? Car x->exp(i*x) n'admet pas de limite en +infini, je sais plus si on a le droit de dire direct que ca fait 0 (je crois que oui, car le module est égal à 1)

[inviteca3a9be7]

Salut,


Une fonction intégrable sur IR n'admet pas forcément de limite en +oo (bien sûr SI la limite existe elle est forcément nulle).

[invitea87a1dd7]

Je n'arrive pas à voir de contre exemple...
Si on dit qu'elle est intégrable et continue, c'est bien que la limite existe non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

La fonction f(x)=cos(x²) est intégrable sur [1, +inf[ et ne tend pas vers 0 à l'infini.

[invitea87a1dd7]

Oui mais [1;+infini[, c'est pas R...
En plus je pense pas qu'on puisse bricoler une fonction pour que ca marche, car f doit être sur R.
Qu'en penses-tu ?

[invitea87a1dd7]

Nan en fait t'as raison, cos(x²) est bien intégrable sur R...
(mais est impossible à représenter )

[invitea87a1dd7]

C'est vraiment bizarre, car avec les séries, ce qui est sous le symbole sigma tend toujours vers 0 si la série converge (c'est une condition nécessaire)..Donc je pensais que c'était pareil !

[invitea87a1dd7]

Bon alors je suis bien embêté pour montrer que j'ai un truc qui tend vers 0 ! (et je suis sûr à 100% qu'il tend vers 0) lorsque a tend vers -infini et b tend vers +infini (variable x, ca provient en fait d'une intégration par parties):

.
Je pensais que c'était nul car chaque dérivée de f tendait vers 0. Donc il doit y avoir une autre raison, peut être des compensations...

[invitea87a1dd7]

Non en fait c'est pas des compensations
Mais l'exemple avec cos(x²) remet tout en cause ! Le crochet tend vers 0 effectivement, mais c'est une forme indéterminée à première vue, et je sais pas comment lever l'indétermination..

[invitea87a1dd7]

Bon alors, en fait le problème c'est ici

Je n'arrive pas à finir la question 2.a. Je m'explique j'arrive bien à trouvé que la dérivée j-ième de la transformée de fourier de f s'écrit comme la transformée de fourier d'un élément, mais impossible de montrer que cet élément appartient à S.
Et même si j'admet que ca appartient à S, la déduction demandée dans la question 2.b, j'y arrive pas.
Bon déja j'ai pour la question 1:


Ensuite pour le début de la question 2.a je trouve :


L'élément est donc :


Voilà, si quelqu'un voit quelque chose...

[invitea87a1dd7]

La fonction f(x)=cos(x²) est intégrable sur [1, +inf[ et ne tend pas vers 0 à l'infini.

En fait c'est faux, cette fonction est semi-convergente