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fonction intégrable et dérivées



  1. #1
    mahuna

    fonction intégrable et dérivées


    ------

    soit f à valeurs dans R de classe C2. On suppose que f^2 et (f'')^2 sont intégrables sur R+. Il faut prouver que (f')^2 est intégrable.
    Mon problème? je ne sais pas comment commencer! il me semble difficile de trouver une relation d'ordre entre une fonction et ses dérivées. Enfin je sais pas tout simplement.

    -----

  2. #2
    erff

    Re : fonction intégrable et dérivées

    Bonjour,

    On peut voir que :

    par inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

    Le membre de droite et intégrable, celui de gauche l'est donc (positivité des fonctions) donc est intégrable.. (attention, il faut passer par les valeur absolues avant de conclure ceci)

    Je pense que ca devrait aller en faisant une intégration par partie pour se ramener à du ...il y aura qques problèmes lorsqu'il faudra traiter le terme entre crochets après l'IPP....

    Peut être d'autres idées....

  3. #3
    skroh

    Re : fonction intégrable et dérivées

    pour le terme entre crochet, l'idée, c'est de raisonner par l'absurde.
    imaginons un instant que ce terme tende vers l'infini en +oo
    on aurrait donc
    f(A).f'(A) -> +oo quand A ->+oo
    or,

    ça voudrait donc dir que (f(A))²->+oo quand A->+oo
    ce qui est en contradiction avec le fait que f² est intégrable

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