Espaces Lp et densité

[invitebb921944]

Bonjour,
J'ai quelques questions...

D'abord si f est une fonction mesurable positive. Alors il existe des fonctions mesurables étagées telles que :

et

Dans la démo, on dit d'abord que pour tout , il existe un unique entier tel que .
On pose alors si et sinon, puis .
Alors la suite convient.
Je vois bien pourquoi cette suite tend vers pour tout (on utilise la double inégalité) mais je ne parviens pas à montrer que dans le cas ou ...


D'autre part, on veut montrer que
est dense dans .
Soit donc .
D'après le résultat précédent, peut être approximée par des fonctions étagées positives .
On pose si et sinon.
On pose .
. Je n'arrive pas à prouver cette double appartenance...


Merci pour votre aide !
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[sadben2004]

2- est borné, car l'est, et s_n aussi (Rq : prend un nombre fini de valeurs !)

Si f est de signe constant, il faut montrer que
ce qui ne peut être le cas que si est à support compact , c'est louche ?!

[invitebb921944]

Merci pour ta réponse !
Effectivement, est bornée pour tout .
Pour , je reste dubitatif et je n'ai toujours pas la réponse à ma première question.

[sadben2004]

Pour le 1, separe les 2 cas
et

et calcule k(n+1,t) dans chauqe cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sadben2004]

Rq : une fct etagée est integrable ssi elle est a support compact.

Pour la 2, est effectivement à support compact.
on a donc s_n integrable.
Donc elle est necessairement a support compact. et donc il en est de même pour d'où est L^1.

[invitebb921944]

Ai-je le droit d'écrire :

Si , le résultat est évident.
Sinon, on a :
car , donc et de plus :

Donc

[invitebb921944]

Merci pour la 2 !
Pour la 1, je ne vois pas trop quels sont les cas que tu distingues.
J'avais exprimé deux inégalités que j'avais sommées pour trouver que la différence était supérieure à 0 mais j'ai seulement obtenu que :
, ce qui n'est pas très utile...

[sadben2004]

Oui et J'avoue que c'est une facon trés élégante de faire !
(Il faut juste des phrases comme est etagée donc )

[sadben2004]

Pardon, je voulais dire de séparer les 2 cas
et

dans le 1er cas k(n+1,t) = 2*k(n,t) et
dans le 2eme k(n+1,t) = 2*k(n,t) + 1 et

Le f(x) jouera le rôle de t aprés

[invitebb921944]

Ah oui effectivement c'est très bien vu !
Merci beaucoup !

[sadben2004]

A moi de poser une question , comment s'achève la démonstration de la densité ?

i.e : Est ce que tend vers f dans pour la norme ? comment on le démontre ?

[invitebb921944]

Yap !
, donc (démonstration aisée).
De plus,.
Donc et par suite, .
On utilise ensuite le théorème de convergence dominée en posant :
.
puisque et sont dans .
De plus, .
Enfin, .
Si , .
Si , .
Par cvg dominée, .
P.S. : je suis certain qu'on utilise la convergence dominée mais je ne suis pas certain de la fonction par laquelle je domine (le prof a encore eu la flemme de détailler). Je viens donc de trouver ça mais si tu penses qu'il y a erreur, n'hésite pas !

[sadben2004]

Merci ca marche !

IL pouvait se contenter du théorème de convergence monotone appliquée a la suite

[invitebb921944]

Il ne faut pas que la suite soit positive pour le thm de convergence monotone ?

[sadben2004]

il y a plusieurs version de ce theoreme
regarde la version dans le brezis (chap 4, p 54, edition masson)

[invitebb921944]

Effectivement, tu as raison.
Merci pour ces précisions mais je vais m'abstenir de l'utiliser puisque le prof ne nous a pas fait part de cette version du théorème .

[invite7c6483e1]

Bonjour,

Rq : une fct etagée est integrable ssi elle est a support compact.

Je ne suis pas sûr de bien comprendre. A priori, une fonction étagée ne 'part' pas d'un espace topologique forcément. La notion de compacité n'est donc pas suffisante je pense pour l'intégrabilité. Il faudrait plutôt parler d'un 'support' qui serait constitué d'une partition de parties de son ensemble de départ qui sont toutes de mesures finies. Ceci entraîne alors l'intégrabilité de la fonction étagée (combinaison linéaire des mesures de ces parties).

Non?

[invite7c6483e1]

De plus, l'indicatrice d'un ouvert comme ]1,2[ est intégrable et vaut 1 par rapport à la mesure de Lebesgue. Pourtant, ce n'est pas un compact ... Ou alors il y a une histoire d'égalité presque partout de l'intégrale avec celle du compact [1,2]... Eclaire moi !

[invite7c6483e1]

Autre question ! Pourquoi on définit les comme ça? C'est-à-dire pourquoi mettre , pour ?

[Arkhnor]

Salut.

En effet, cette histoire de fonction étagées intégrables ssi à support compact est louche. (et même fausse en toute généralité, y compris dans avec la mesure de Lebesgue, il suffit de regarder l'indicatrice des rationnels)

Au passage fulliculli, ta fonction est bien à support compact, le support d'une fonction, c'est l'adhérence de l'ensemble des points où elle n'est pas nulle, donc dans ton cas, le support est bien qui est compact.

[invite7c6483e1]

ok j'étais pas sûr de la définition de "support" mais j'ai quand même balancé mon pseudo contre exemple !
Sinon à propos de ma dernière question, t'as une idée?

[Arkhnor]

On tente d'approcher par une suite de fonctions étagées, on est donc obligé "tronquer" la fonction quand elle devient trop grande. (on augmente le palier avec n, de manière à "récupérer" la fonction lorsque n augmente)

[invite769a1844]

Bonjour,

pour la première question tout dépend de ce qu'on entend par "support". La définition donnée par Arkhnor ne s'applique pas ici, car on parle de fonctions définies presque partout. Il y en a une donnée dans le Brezis qui généralise dans le cadre Lp la définition d'Arkhnor, je ne l'ai pas en main pour l'instant, je regarderai un peu plus tard.

L'indicatrice de Q est presque partout nulle (dans Lp c'est donc la même classe de fonctions), et la fonction nulle est bien à support compact.

[Arkhnor]

Ok, j'ai rencontré cette définition du support dans Théorie de l'intégration de M.Briane et G.pagès, mais je n'ai pas sous la main non plus.

Je n'ai lu la discussion qu'en diagonale, et j'ai pensé que l'on parlait de fonctions et non de classes de fonctions.

[invite7c6483e1]

On tente d'approcher par une suite de fonctions étagées, on est donc obligé "tronquer" la fonction quand elle devient trop grande. (on augmente le palier avec n, de manière à "récupérer" la fonction lorsque n augmente)

Je ne comprends toujours pas ...
Quel rapport entre le rang de la suite et l'encadrement de la valeur de f par les ?

Précise moi la nécessité de "tronquer" et ce que tu entends par "tronquer quand f devient trop grande", s'il te plaît !

[invite7c6483e1]

Je suis en train d'y réfléchir à l'aide de l'exemple suivant:
Je cherche à approximer la fonction . Dans ce cas j'ai . A priori, j'ai tel que . En particulier pour . Je ne vois pas pourquoi le fait de rendre le découpage de l'image de f plus fin oblige à rendre constante pour .

[invite7c6483e1]

Bon j'ai un peu avancé (enfin je crois):

Je viens de voir qu'en fait, on considère f positive donc à valeurs dans . Et pour approximer f on va découper son image mais en ne prenant que les valeurs de f dans l'intervalle que l'on va découper en morceaux, puis passer à la limite en n. Et c'est pour ça que les valeurs des fonctions étagées hors de [0,n[ ne nous intéressent pas. Donc on prend pour tout .

Maintenant ma question est: pourquoi ne pas subdiviser directement ?

[invite7c6483e1]

Ok c'est sûrement parce que ce n'est pas borné ...