ker et im

inviteb01e8c18 · 12/08/2009, 23h04

quel est la relation entre la stabilitè du ker et de Im par un endomorphisme et le fait que im+ker=E???
merci!!

**malix** · 14/08/2009, 13h02

Je suppose que tu es en dimension finie...

Je ne voudrais pas dire de bêtises, mais il me semble que pour tout endomorphisme f, Imf et Kerf sont stables par f :
soit $\text{[math]}$ . Montrons que $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .
soit $\text{[math]}$ . Montrons que $\text{[math]}$ . évident.

Par contre, la relation Imf+Kerf=E n'est pas toujours vraie ! (si f n'est pas un endomorphisme de E dans E par exemple).

Ce qui est toujours vrai, en dimension finie, c'est le théorème du rang : dimImf+dimKerf=dimE.

**taladris** · 14/08/2009, 13h14

Envoyé par malix

Par contre, la relation Imf+Kerf=E n'est pas toujours vraie ! (si f n'est pas un endomorphisme de E dans E par exemple).

Autre exemple: l'endomorphisme de R² défini par f(x,y)=(y-x,y-x)
dont le noyau est égal à l'image (à savoir l'ensemble {(x,x)/x réel})

ker et im

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