Espaces lp Lp

[invite8be57c24]

Bonjour à tous ! Un petit problème d'inégalité tout bête qui me pourri la soirée parce que je me doute bien que ça ne doit pas être très compliqué mais je n'arrive à rien !!!
Alors voilà la chose :

Soient . Montrer que pour , mais que pour .

La suite de l'exercice revient à trouver des inclusions dans les espaces mais ça c'est facile de même que de trouver la norme des opérateurs identité correspondant qui est 1...

si p=q c'est bon...
si aussi mais après...

Il faut peut être utiliser Holder pour les espaces de fonctions mais alors là je ne vois pas d'où le sortir ....
Si quelqu'un peut m'éclairer sa serait sympa !

Merci
-----

[edpiste]

Pour la deuxième inégalité, Holder marche effectivement. Elève la norme de x dans L^p à la puissance p. Tu obtiens une intégrale dont l'intégrande est de la forme fg, où f=!x!^p et g=1. Je te laisse finir à partir de là.

Pour la 1ère inégalité, essaye de voir ce qui se passe dans des cas simples, par exemple si x n'a que deux termes non nuls et p=1 et q=2...

[invite8bf67174]

Svp je ve savoir pourquoi les espaces Lp avec p différent de 2 , ne sont pas des Hilberts .

Merci.

[invite769a1844]

Svp je ve savoir pourquoi les espaces Lp avec p différent de 2 , ne sont pas des Hilberts .

Merci.

Salut,

les espaces sont complets, c'est donc au niveau du produit scalaire qu'il faut regarder. Or on a une identité commode qui doit pouvoir être utile ici, l'identité du parallélogramme qui caractérise un espace préhilbertien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Salut,

Pour la question sur les espaces , si tu pose

(dans le cas où le résultat est trivial, on peut supposer que )
tu as et il suffit de montrer que . On a:

Comme c'est une somme de termes positifs, pour que la somme fasse 1 il faut que chacun des termes soit inférieur ou égal à , autrement dit:

De plus, comme il suffit de montrer que:

...
je pense que comme ça tu as suffisamment (voire un peu trop car je t'ai donné quasiment toute les solution) d'indications pour conclure

[invite392a8924]

Svp je ve savoir pourquoi les espaces Lp avec p différent de 2 , ne sont pas des Hilberts .

Merci.

salut,j'ajoute seulement une chose pour te répondre,l'espace de Hilbert est un espace :euclidien;donc munit d'un produit scalaire ,se qui est effectivement verifier seulement pour les espaces Lp avec p=2,donc on dit que l'espace L2 est une réalisation des espaces de Hilbert .

[KerLannais]

Salut,

Voilà par exemple la démonstration, que est un espace de Hilbert que si (en prenant la mesure de Lebesgue sur ). Il est facile d'adapter cette démonstration à d'autres espaces mesurés et on peut aussi regarder le cas des fonctions à valeurs complexes. On utilise effectivement l'identité du parallèlogramme.

Je noterai la norme . Si l'espace est un Hilbert alors sa norme est euclidienne, autrement dit il existe un produit scalaire (une forme bilinéaire symétrique définie positive) tel que la norme soit donnée par:


On a alors (quand la norme euclidienne) l'identité du parallèlogramme:

En effet:




de même on a:

ainsi:

et en divisant par 4 de chaque coté on obtient le résultat. Regardons ce que ça donne pour


On a:

et donc

Par ailleurs:

D'après l'identité du parallèlogramme on a donc